Completing Square 配方法
在香港的中學數學中，解二次方程是DSE（香港中學文憑試）考試的一部分。其中一種常用的方法是”配方法”。這種方法可以將一個一般的二次方程轉化為一個更容易解決的形式。本文將介紹這種方法的基礎知識和應用。通過學習配方法，你將能夠更好地理解二次方程的性質和解法。
配方法 Completing Square 是什麼
配方法（Completing Square）是一種用於解決二次方程的方法。它的目的是通過將一個一般的二次方程轉化為完全平方的形式，使問題更容易解決。一般來說，一個標準的二次函數可以寫為：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是已知的係數，x是未知數。配方法的基本思想是，通過添加和減去某些特定的數字，將二次方程轉化為完全平方的形式。最終的答案會寫成 y = a(x-h)^2 + k。
配方法 Completing Square 步驟
一個標準的二次函數可以寫為：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是已知的係數，x是未知數。
- 確保二次項的係數（即a）為1。如果不是1，可以通過將 ax^2、bx函數抽出a來實現。
y = a(x^2 + b/a x) + c - 將x的係數 b/a 除以2兼平方，然後即加 (b / 2a)^2 即減 (b / 2a)^2。
y = a(x^2 + b/a x + (b / 2a)^2 – (b / 2a)^2) + c - 將左側的完全平方進行因數分解，然後進行簡化。
y = a(x + b / 2a)^2 – b / 4a + c - 得到一個新的函數，其中一項是一個完全平方
- 最後得到答案：y = a(x-h)^2 + k
配方法 Completing Square 例子
假設我們有一個二次函數：f(x) = x^2 + 6x + 8
- 確保二次項的係數為1。在這個例子中，二次項的係數已經是1，所以我們可以跳過這一步。
- 將一次項的係數除以2，然後求得一個平方項。一次項的係數是6，所以除以2得到3，然後將其平方，得到9。
- 將求得的平方項添加到函數的兩側。在這個例子中，我們將9添加到函數的兩側：
f(x) + 9 = x^2 + 6x + 8 + 9簡化後得到 - 進行完全平方進行因數分解或簡化。在這個例子中，完全平方是 (x + 3)^2，所以我們可以將函數重新寫為：f(x) = (x + 3)^2 – 1
- 現在我們得到了一個新的等價函數，其中一項是一個完全平方，另一項是一個常數。
假設我們有一個二次函數：f(x) = 2x^2 + 6x – 8
- 確保二次項的係數為1。在這個例子中，二次項的係數是2，所以我們需要將整個函數除以2，以確保二次項的係數為1：
f(x) = 2(x^2 + 3x) – 8 - 將x項的係數除以2，然後平方。項項的係數是3，所以除以2得到3/2，然後將其平方，得到9/4。
- 將求得的平方項添加到函數的兩側。在這個例子中，我們將即加即減 9/4添加到函數：
f(x) = 2(x^2 + 3x + 9/4 – 9/4) – 8 - 將完全平方進行因數分解或簡化。在這個例子中，完全平方是 (x + 3/2)^2，所以我們可以將函數重新寫為：
f(x) = 2(x + 3/2)^2 – 25/2 - 現在我們得到了一個新的等價函數，其中一項是一個完全平方，另一項是一個常數。
配方法 Completing Square 用途
- 解二次方程：配方法可以用於求解二次方程的解。通過將二次函數轉化為完全平方的形式，可以更容易地找到方程的解，特別是當方程無法直接進行因式分解或使用求根公式時。
- 尋找二次函數的極點：配方法可以用於分析二次函數的圖形特徵。通過將函數轉化為完全平方的形式，可以更容易地找到頂點等重要特徵，從而更好地理解和描述二次函數的圖形。
- 最小化和最大化問題：在最小化和最大化問題中，我們需要找到一個函數的最小值或最大值。配方法可以幫助我們將一個二次函數轉化為完全平方的形式，從而更容易找到函數的最小值或最大值，並找到對應的自變量值。
解二次方程 Solving
假設我們有一個二次方程：x^2 + 4x – 5 = 0
我們可以使用配方法來求解這個方程：
- 確保二次項的係數為1。在這個例子中，二次項的係數已經是1，所以我們可以跳過這一步。
- 將x項的係數除以2，然後求得一個平方項。
今次x項的係數是4，所以除以2得到2，然後將其平方，得到4。 - 將求得的平方項添加到方程：
x^2 + 4x + 4 – 4 – 5 = 0 - 現在我們得到了一個新的等價方程，其中一項是一個完全平方，另一側項目一個常數。
- 將完全平方進行因數分解或簡化。在這個例子中，左側的完全平方是 (x + 2)^2，所以我們可以將方程重新寫為：(x + 2)^2 – 9 = 0
- 現在我們可以將常數移到：
(x + 2)^2 = 9 - 現在我們可以取開方。
x + 2 = 3 or -3 - 我們得到兩個解：x = 1 或 x = -5
因此，原始的二次方程 x^2 + 4x – 5 = 0 的解是 x = 1 或 x = -5
尋找二次函數的極點 Vertex
讓我們通過一個具體的例子來尋找二次函數的極點。
假設我們有一個二次函數：f(x) = x^2 – 4x + 3
要找到這個函數的極點，我們可以使用下面的步驟：
- 確保二次項的係數為1。在這個例子中，二次項的係數已經是1，所以我們可以跳過這一步。
- 將x項係數除以2，得到-4/2 = -2 並將這個值平方，得到(-2)^2 = 4。
- 將這個平方值添加到函數：
f(x) = x^2 – 4x + 4 -4 + 3 - 將完全平方進行因數分解或簡化。在這個例子中，左側的完全平方是 (x – 2)^2，所以我們可以將函數重新寫為：
f(x) = (x – 2)^2 – 1 - 現在我們得到了一個新的等價函數，其中項是一個完全平方，另一項是一個常數。
- 現在我們可以得到極點。
將括號裡的東西等於 0，x – 2 = 0，x = 2，
並且括號外面的常數就是極點 y 座標，y = -1
因此，在這個例子中，二次函數的極點是 (2, -1)。
最小化和最大化問題 Maximum and Minimum
假設我們要在一個長方形的固定周長下找到最大的面積。我們可以使用最大化問題的方法來解決這個問題。
設長方形的長為 L，寬為 W，並且周長固定為 P。我們需要找到 L 和 W 的值，以使得面積 A = L * W 最大。
根據問題的條件，我們可以得到以下方程：
2L + 2W = P
首先，將這個方程改寫為 L = (P – 2W)/2。
然後，將這個 L 值代入面積的表達式中：
A = L * W = ((P – 2W)/2) * W = (P/2)W – W^2/2
現在我們有了一個只包含一個變量 W 的面積函數 A。
為了找到最大的面積，我們需要對這個函數進行配方法。
A = -1/2 (W^2 – (P/2)W + P^2 /4 – P^2 /4)
A = -1/2 (W – P/2)^2 + P^2 /8
因此，當周長固定為 P 時，W = P/2，長方形的最大面積為 P^2/8。
當周長固定為 P = 20 單位時，我們可以使用具體數字來計算最大面積。
根據先前的設置，面積 A = P^2/8。
將 P = 20 代入公式中：
A = (20^2)/8 = 400/8 = 50
因此，當周長固定為 20 單位時，W = 10，長方形的最大面積為 50 平方單位。
