【Complex Number DSE】複數 零死角詳解！【全攻略】

複數是數學中一個精彩而又神秘的領域。在香港的中學數學課程中，複數是高中數學科目中的一個重要主題，在香港中學文憑考試（DSE）中佔有一定的比重。了解複數的性質和運算法則，對於解決數學問題和應對考試至關重要。

複數是什麼 What is a complex number

複數是由實數和虛數部分組成的數字。一個複數可以表示為 a + bi 的形式，其中 a 是實數部分，b 是虛數部分，而 i 是虛數單位（i = √(-1)）。虛數部分在複數中起到了關鍵的角色，因為它使得複數可以表示負數的平方根。在實數系統中，無法對負數進行平方根運算，但複數系統中的虛數部分允許我們進行這樣的運算。

複數例子 Complex Number Example

1. 2 + 3i：這是一個複數，其中實數部分是2，虛數部分是3i。
2. -5 – 2i：這是一個複數，其中實數部分是-5，虛數部分是-2i。
3. 4i：這是一個複數，其中實數部分為0，虛數部分是4i。
4. 1.5 – 0.8i：這是一個複數，其中實數部分是1.5，虛數部分是-0.8i。
5. -2：這也是一個複數，其中實數部分是-2，虛數部分是0。注意，所有的實數都可以看作是複數的特殊情況，其中虛數部分為0。

複數必學詞彙 Wordings related to complex number

共軛複數是什麼 What is Conjugate

共軛複數是指將一個複數的虛部取負值而得到的新複數。以一個複數 z = a + bi 為例，其中 a 是實部，b 是虛部。則它的共軛複數（conjugate）為 z* = a – bi，即保持實部不變，但將虛部取負值。

共軛複數具有以下特性：

1. 若一個複數 z 的虛部為 0，即 z = a + 0i，則它的共軛複數等於自身，即 z* = a + 0i = z。
2. 兩個複數 z 和 w 的和的共軛等於它們的共軛複數之和的共軛，即 (z + w)* = z* + w*。
3. 兩個複數 z 和 w 的積的共軛等於它們的共軛複數之積的共軛，即 (zw)* = z* w*。
4. 複數 z 的共軛複數的共軛仍然等於 z，即 (z*)* = z。

共軛複數在複數的運算和應用中具有重要的作用。例如，當計算複數的除法時，我們可以將分子和分母同時乘以分母的共軛複數，以消除分母中的虛部，從而得到一個更簡潔的結果。

模數是什麼 What is Modulus

在數學中，模數（modulus）是指複數的絕對值或長度。對於一個複數 z = a + bi，其中 a 和 b 分別為實部和虛部，它的模數通常表示為 |z| 或 ||z||。

複數的模數可以使用以下公式計算：

|z| = √(a^2 + b^2)

也就是將複數的實部和虛部的平方和進行開根號。

模數具有以下特性：

1. 模數永遠是非負數，即 |z| ≥ 0。
2. 如果一個複數的模數為 0，則該複數本身必須為 0，即 |z| = 0 if and only if z = 0。
3. 兩個複數 z 和 w 的和的模數小於等於它們的模數之和，即 |z + w| ≤ |z| + |w|，這被稱為三角不等式。

模數在複數的幾何表示中具有重要的意義。它表示從原點到該複數所對應的點的距離或向量的長度。同樣地，模數也可以用於計算複數的共軛以及進行除法等操作。

複數涵蓋範圍 Coverage of complex number

複數涵蓋的範圍非常廣，幾乎所有是都是其中一種複數。複數包含：實數、有理數、整數、自然數。所以，我們小時學的1、2、3、4、5都是複數，只不過它們的虛數部分是0。

複數四則運算 Arithmetic of complex number

複數的四則運算包括加法、減法、乘法和除法。

複數加法

• 表示：(a + bi) + (c + di)
• 運算法則：將實部 (a、c) 和虛部 (b、d) 分別相加，得到結果的實部為 (a + c)，虛部為 (b + d)。
• 範例：(2 + 3i) + (4 + 1i) = (2 + 4) + (3 + 1)i = 6 + 4i

複數減法

• 表示：(a + bi) – (c + di)
• 運算法則：將實部 (a、c) 和虛部 (b、d) 分別相減，得到結果的實部為 (a – c)，虛部為 (b – d)。
• 範例：(5 + 2i) – (3 + 4i) = (5 – 3) + (2 – 4)i = 2 – 2i

複數乘法

• 表示：(a + bi) * (c + di)
• 運算法則：將複數展開，然後根據乘法法則計算。實部的計算為 (a * c – b * d)，虛部的計算為 (a * d + b * c)。
• 範例：(2 + 3i) * (4 + 1i) = (2 * 4 – 3 * 1) + (2 * 1 + 3 * 4)i = 5 + 14i

複數除法

• 表示：(a + bi) / (c + di)
• 運算法則：將複數展開，然後根據除法法則計算。首先將除數的共軛複數 (c – di) 乘到分子和分母上，然後將實部和虛部分別相除。實部的計算為 [(a * c + b * d) / (c^2 + d^2)]，虛部的計算為 [(b * c – a * d) / (c^2 + d^2)]。
• 範例：(5 + 2i) / (3 + 4i) = [(5 * 3 + 2 * 4) / (3^2 + 4^2)] + [(2 * 3 – 5 * 4) / (3^2 + 4^2)]i = (23/25) – (14/25)i

i 次方

“i” 表示虛數單位，它被定義為√-1。在數學中，將 “i” 乘方涉及使用複數的性質。

當 “i” 的乘方為 0 時，結果為 1：
i^0 = 1。

當 “i” 的乘方為 1 時，結果仍然是 “i”：
i^1 = i。

當 “i” 的乘方為 2 時，結果為 -1：
i^2 = -1。

當 “i” 的乘方為 3 時，結果為 -i：
i^3 = -i。

當 “i” 的乘方為 4 時，結果回到 1：
i^4 = 1。

之後，這個模式會重複。每次將指數增加 4，就會得到相同的結果。

例如：
i^5 = i^4 * i = 1 * i = i。
i^6 = i^4 * i^2 = 1 * (-1) = -1。
i^7 = i^4 * i^3 = 1 * (-i) = -i。
i^8 = i^4 * i^4 = 1 * 1 = 1。

因此，要求 “i” 的某一次方的值，可以將該指數除以 4，觀察餘數以確定結果。

Complex Number 計數機

CASIO計算機當然可以計算複數。

按鍵說明:

• MODE 2 (進入複數模式)
• SHIFT Abs (計算複數絶對值的函數)
• SHIFT Conjg (計算共軛數的函數)

Complex Number 計數機 例子

例題1: 計算 (2 + 3i) + (4 – 5i)
按：(2 + 3i) + (4 – 5i) EXE (顯示6 – 2i) 再按 SHIFT Re<=>Im (顯示6 – 2i)
因此 (2 + 3i) + (4 – 5i) = 6 – 2i

例題2: 計算 (3 + 2i)(1 – i)
按：(3 + 2i)(1 – i) EXE (顯示5 – 5i) 再按 SHIFT Re<=>Im (顯示5 – 5i)
因此 (3 + 2i)(1 – i) = 5 – 5i

例題3: 計算 1/(2 + 3i)
按：1➗(2 + 3i) EXE (顯示0.1538461538 – 0.2307692308i) 再按 SHIFT Re<=>Im (顯示0.1538461538 – 0.2307692308i)
因此 1/(2 + 3i) = 0.1538461538 – 0.2307692308i

例題4: 計算 (2 – i)^3
按：(2 – i)^3 EXE (顯示-2 – 11i) 再按 SHIFT Re<=>Im (顯示-2 – 11i)
因此 (2 – i)^3 = -2 – 11i

例題6: 計算 (1 + i)^4
按：(1 + i)^4 EXE (顯示 Math Error)
如果用指數^最多只能去到4，但若果用_{^{-1 2 3}} 等指數按鍵便不會有error
這樣我們可以按：(1 + i)²² EXE (顯示-4)
因此，(1 + i)^4 = -4

複數練習 Complex number Exercise

1. 計算 (3 + 4i) + (2 – i)。
   解答：將實部和虛部分別相加，得到 (3 + 2) + (4i – i) = 5 + 3i。
2. 計算 (2 + 5i) – (1 – 3i)。
   解答：將第二個複數的實部和虛部分別從第一個複數的對應部分減去，得到 (2 – 1) + (5i + 3i) = 1 + 8i。
3. 計算 (2 + 3i) × (4 – 2i)。
   解答：使用複數乘法公式展開計算，得到 (2 × 4 – 2 × 3i + 3i × 4 – 3i × 2i) = 8 + 12i + 12i – 6i^2。
   因為 i^2 = -1，所以進一步化簡為 8 + 12i + 12i + 6 = 14 + 24i。
4. 計算 (3 – 2i) ÷ (1 + 2i)。
   解答：將分子和分母同時乘以共軛複數，即 (3 – 2i) × (1 – 2i)。
   使用複數乘法展開計算，得到 (3 × 1 – 3 × 2i – 2i × 1 – 2i × 2i) = 3 – 6i – 2i – 4i^2。
   因為 i^2 = -1，所以進一步化簡為 3 – 8i + 4 = 7 – 8i。