Pythagoras’ theorem 畢氏定理
數學中有許多重要的定理，其中一個廣為人知的是畢氏定理，也被稱為勾股定理。這個定理聲名遠播，被廣泛應用於幾何學和數學中的各種問題。然而，你可能會好奇，畢氏定理是如何被發現的？它是否真的是一個定理，還是只是一個巧合？
畢氏定理
畢氏定理描述了直角三角形中三個邊之間的關係。根據畢氏定理，對於一個直角三角形，其兩個直角邊的平方和等於斜邊的平方。畢氏定理公式：a² + b² = c²。這個定理可以用來計算缺失的邊長，檢查三角形是否為直角三角形，或者在解決各種幾何問題時使用。
畢氏定理例子
畢氏定理直角三角形
三角形邊長計算：
假設我們知道一個直角三角形的兩個直角邊的長度分別為a = 3和b = 4，我們可以使用畢氏定理計算斜邊的長度c：
c² = a² + b²
c² = 3² + 4²
c² = 9 + 16
c² = 25
c = √25
c = 5
因此，斜邊的長度為5。
畢氏定理計算機
大家手上的計算機就不能直接計算畢氏定理，不過我們依然可以取巧。Formula 02 是cosine law，所以大家只要知道斜邊以外的邊長就能夠計算。
Formula 02 後，先輸入兩條邊的長度，然後輸入90度就能計算畢氏定理。
畢氏定理逆定理
畢氏定理逆定理，也被稱為逆勾股定理或畢氏定理的逆向版本，描述了三個邊長之間的關係，判斷一個三角形是否為直角三角形。根據畢氏定理逆定理，如果一個三角形的三個邊的關係滿足：兩個邊的平方和等於第三邊的平方，則該三角形是一個直角三角形。
具體地說，假設一個三角形的三個邊的長度分別為a、b和c，根據畢氏定理逆定理，如果以下等式成立：
a² + b² = c² （或 b² + c² = a²，或 c² + a² = b²）
那麼這個三角形就是一個直角三角形，其中c是斜邊，a和b是兩個直角邊。
畢氏定理逆定理提供了一種判斷三角形是否為直角三角形的方法。通過測量三個邊的長度，並檢查它們是否滿足逆勾股定理的等式關係，我們可以確定三角形的類型。
需要注意的是，畢氏定理逆定理僅適用於直角三角形。對於非直角三角形，這個等式關係不成立。
畢氏三元數
「畢氏三元數」，是指可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數。
根據勾股定理，對於一個直角三角形，兩個直角邊的平方和等於斜邊的平方。
具體來說，如果一組正整數a、b、c滿足以下等式：
a² + b² = c²
其中，a和b是直角三角形的兩個直角邊，c是斜邊，則這組正整數稱為勾股數或畢氏三元數。
畢氏定理常見組合
例如，3、4和5是一組畢氏三元數，因為3² + 4² = 5²，符合畢氏三元數。其他常見的畢氏三元數還包括5、12、13和8、15、17等。
畢氏三元數在數學DSE有些許應用，例如：見到畢氏三元數，題目就可能傾向與直角三角形有關。
畢氏定理口訣
- 3、4、5：3² + 4² = 5²
- 5、12、13：5² + 12² = 13²
- 7、24、25：7² + 24² = 25²
- 20、21、29：20² + 21² = 29²
- 12、35、37：12² + 35² = 37²
- 28、45、53：28² + 45² = 53²
- 11、60、61：11² + 60² = 61²
- 16、63、65：16² + 63² = 65²
畢氏定理證明
圖中的兩個正方形的邊長均為 a + b，並且四個藍色和綠色三角形的面積相等，邊長分別是a、b和c。
我們可以用面積計算 (a + b)2 = 4ab / 2 + c²
a² + 2ab + b² = 2ab + c²
因此，可以得出結論a² + b² = c²，這正是畢氏定理的表述。