【Applications of Trigonometry in 2D Problems DSE】三角學解平面應用題

Applications of Trigonometry in 2-dimensional Problems 三角學解平面應用題

在二維問題中，三角學的應用尤為突出，幫助我們解決各種有關角度、距離和形狀的問題。本文將探討三角學在二維問題中的應用。

如何應用三角學解平面應用題

三角學可以用於計算角度、距離和形狀等問題。例如，在航海中，我們可以利用三角學計算船的航向角，確保它朝向目的地。此外，三角學也可以用於計算兩點之間的距離，這在地理學和測量中非常實用。解決三角形的問題也是三角學的一個重要應用，它可以幫助我們計算未知的邊長和角度。此外，三角學還可以應用於計算物體的高度和距離比例，以及解決各種角度相關的問題。

方位角 Bearing

方位角 Bearing 有兩種，包括：真方位角 true bearing及羅盤方位角 compass bearing

真方位角 true bearing 羅盤方位角 compass bearing 有什麼不同

羅盤方位角是使用羅盤上的四個基本方向（北、南、東、西）來確定一個物體相對於另一個物體的方向。羅盤方位角以基本方向和角度的組合表示。例如，「N20°E」表示方向是相對於正北向東偏移20度。

真方位角則是使用從北面開始順時針方向測量的角度數來確定物體的方向。真方位角以單一角度（以度數表示）表示。例如，如果一個物體與北面的角度為30度且偏向西方，則其真方位角為330°。

仰角 Angle of Elevation

仰角（Angle of Elevation）是指從水平面（通常是地面）向上觀察物體時，目光線與水平面之間的夾角。它用於描述觀察者的視線向上抬升的程度。

仰角通常是以度數來表示。當仰角為0度時，視線平行於水平面；當仰角增加時，視線向上抬升。

仰角在各種情境中都有應用。舉例來說，當觀察一個高塔或建築物時，仰角可以用來描述觀察者需要抬頭的程度。在導航和航空中，仰角可以用來指示飛機或船隻的上升或下降角度。在射擊或砲火射程計算中，仰角用於確定砲管或槍口的仰角，以確保子彈或砲彈能夠達到目標。

當計算仰角時，通常需要知道觀察點和物體之間的距離。使用三角學的相關公式，可以根據觀察者和物體之間的垂直距離和水平距離計算出仰角。

俯角Angle of Depression

俯角（Angle of Depression）是指從水平面（通常是地面）向下觀察物體時，目光線與水平面之間的夾角。它用於描述觀察者的視線向下傾斜的程度。

俯角通常以度數來表示。當俯角為0度時，視線平行於水平面；當俯角增加時，視線向下傾斜。

俯角在各種情境中都有應用。例如，當觀察一個位於地平線下方的物體時，俯角可以用來描述觀察者需要向下傾斜頭部的程度。在測量或工程中，俯角可以用來測量或設計地下結構、坡度或下方物體的位置。

當計算俯角時，通常需要知道觀察點和物體之間的垂直距離和水平距離。使用三角學的相關公式，可以根據這些距離計算出俯角。

點線距離 Distance from a point to a line

點線距離（Distance from a point to a line）是指從一個點到一條直線的最短距離。這個概念在幾何學和數學中很重要，並且在許多應用中有實際意義。

要計算點線距離，需要有一個點和一條直線的相關資訊，例如直線的方程式或兩個點的座標。

下面是計算點線距離的一般步驟：

1. 確定直線的方程式或兩個點的座標。如果直線的方程式已知，可以使用該方程式來表示直線。如果直線由兩個已知點組成，可以使用這些點的座標來表示直線。
2. 找到從點到直線的垂直線。垂直線是從點到直線且與直線垂直的線段。
3. 確定垂直線的長度。這個長度就是點線距離，也就是點到直線的最短距離。

通常用到的技巧就是用點與線行程三角形，然後利用三角形面積尋找答案。

我們可以視該線為三角形的底，點線距離就是三角形的高。

正弦公式 Sine Formula

正弦公式（Sine Formula）是三角學中一個重要的公式，用於求解三角形的邊長和角度之間的關係。它可以幫助我們計算三角形的未知邊長或角度。

在一個三角形ABC中，假設a、b、c分別表示三個邊的長度，而A、B、C表示對應的角度。正弦公式可以表示為：

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

換句話說，任意兩個邊的長度與它們對應的角的正弦值之間的比例是相等的。

根據正弦公式，我們可以解決以下類型的問題：

1. 已知三角形的一個角和兩邊的長度，求解另外兩個角和邊的長度。
2. 已知三角形的兩個角和一個邊的長度，求解另外一個角和兩邊的長度。
3. 已知三角形的兩個邊和一個角的度數，求解另外一個角和邊的長度。

正弦公式在解決三角形問題時非常有用，它可以用於三角形的求解、測量和建模。

餘弦公式 Cosine Formula

餘弦公式（Cosine Formula）是三角學中另一個重要的公式，用於求解三角形的邊長和角度之間的關係。它也被稱為餘弦定理（Cosine Theorem）。

在一個三角形 ABC 中，假設 a、b、c 分別表示三個邊的長度，而 A、B、C 表示對應的角度。餘弦公式可以表示為：

c^2 = a^2 + b^2 – 2ab*cos(C)

或者可以表示為其他兩個邊的組合形式：

a^2 = b^2 + c^2 – 2bc*cos(A)

b^2 = a^2 + c^2 – 2ac*cos(B)

很麻煩？其實你的計算機 fx-50 Formula 02 正正就是餘弦公式（Cosine Formula）

餘弦公式描述了一個三角形中任意一個邊的平方等於其他兩個邊的平方和兩倍乘積的餘弦值。

根據餘弦公式，我們可以解決以下類型的問題：

1. 已知三角形的三個邊的長度，求解其中一個角的餘弦值或角度大小。
2. 已知三角形的兩個邊的長度和它們之間的夾角，求解第三個邊的長度。
3. 已知三角形的一個邊的長度、另一個邊的長度和夾角，求解第三個邊的長度。

希羅公式 Heron’s Formula

希羅公式（Heron’s Formula）是一個用於計算三角形面積的公式，它以古希臘數學家希羅（Heron）的名字命名。

對於一個三角形，假設其三個邊的長度分別為 a、b、c，希羅公式可以表示為：

面積（A）= √[s(s-a)(s-b)(s-c)]

其中 s 是半周長，計算公式為：

s = (a + b + c) / 2

很麻煩？其實你的計算機 fx-50 Formula 03 正正就是希羅公式（Heron’s Formula）

希羅公式的特點是只需知道三角形的邊長，就可以計算其面積，而不需要知道角度。這使得希羅公式在實際應用中非常方便，特別是當我們只知道三個邊的長度而不知道角度時。

希羅公式可以解決以下類型的問題：

1. 已知三角形的三個邊的長度，求解其面積。
2. 已知三角形的三個頂點的坐標，求解其面積。

三角學解平面應用題例題 Example of Applications of Trigonometry in 2D Problems

問題

凌晨 01:00，颱風距離香港 900 公里，方向南緯 40°E。 颱風以40公里/小時的恆定速度向N55°W方向移動。 (a) 若颱風與香港之間的距離小於或等於
400公里處，將發出八號大風或暴風雨訊號。
(a)(i) 八號烈風或暴風訊號將於何時發出？ 給出你的答案更正至最接近的分鐘。
(a)(ii) 八號烈風或暴風訊號會持續多久？
(b)(i) 距離香港最近的颱風何時出現？ 給出你的答案更正至最接近的分鐘。
(b)(ii) 距離香港最近的颱風是什麼時候發生？ 請正確回答最接近的分鐘數。

解答

非常抱歉上一次回答中的錯誤。以下是正確答案：

(a) (i) 讓我們標註颱風的初始位置為A，香港的位置為H，當颱風發出烈風或颱風8號警告訊號時的位置為D。

根據圖中的標註：
∠CAH = ∠BHA = 40°（由於BH平行於AC）
∠HAD = 55° – 40° = 15°

根據餘弦公式：
DH^2 = AD^2 + AH^2 – 2(AD)(AH)cos∠HAD

代入已知數值：
400^2 = AD^2 + 900^2 – 2(AD)(900)cos15°

解方程得到：
AD ≈ 544.1559 公里

颱風到達位置D所需時間：
時間 ≈ 544.1559 / 40 ≈ 13.6039 小時

因此，烈風或颱風8號警告訊號將於下午2點36分發出。

(a) (ii) 當颱風沿著DF移動時，颱風與香港之間的距離不會超過400公里。

根據(a)(i)的結果，AF ≈ 1194.5106公里。因此，DF ≈ (1194.5106 – 544.1559)公里 = 650.3547公里。

颱風通過DF的所需時間大約為 650.3547小時 / 40 = 16.3小時（四捨五入至3位有效數字）。

因此，烈風或颱風8號警告訊號將持續約16.3小時。

(b) (i) 設G表示颱風最靠近香港的位置。

根據正弦定理：
sin15° = HG / 900公里

解方程得到：
HG ≈ 233公里（取到3位有效數字）

因此，香港和颱風之間的最短距離為233公里。

(b) (ii) 根據餘弦定理：
cos15° = AG / 900公里

解方程得到：
AG ≈ 869.3332公里

颱風到達位置G所需時間：
時間 ≈ 869.3332小時 / 40 ≈ 21.7333小時

因此，颱風最接近香港的時間為晚上10點44分。