【More about Graphs of Functions DSE】續函數圖像｜大量圖像 清楚解釋！

More about Graphs of Functions 續函數圖像

在先前的文章中，我們已經探討了函數圖像的基本知識，包括如何繪製和分析它們。在本篇文章中，我們將深入探討函數圖像的更多相關內容，著重於圖像的變化、對稱性和其他特徵。通過進一步瞭解這些概念，我們將能夠更全面地解讀和應用函數圖像，並在數學問題中更有效地利用它們。

續函數圖像 More about Graphs of Functions 學什麼

首先，我們將學習如何描繪和比較不同函數的圖像，包括常值函數、線性函數、二次函數、三角函數、指數函數和對數函數。接著，我們將運用函數的圖像解方程和不等式，進一步應用函數的圖像解析數學問題。此外，我們還將從表列、符號和圖像的角度來理解函數的變換，包括平移、縮放和反射等操作。透過深入研究這些概念，我們能夠更全面地解讀和應用函數圖像，並在數學問題中更有效地利用它們。

讓我們先回顧基本概念！

函數的定義 Definition of a Function

函數是一種數學工具，描述了一個集合中每個元素與另一個集合中的元素之間的對應關係。一 個函數通常表示為 f(x)，其中 x 是自變量，而 f(x) 是相應的因變量。當 x 的值改變時，f(x) 的 值也會隨之改變。函數的圖像是函數的視覺表示，它將函數的輸入與輸出值表示為一個平面上的點，稱為座標 點。函數的圖像可以用來研究函數的性質和特點，例如函數的定義域、值域、最大值和最小 值、斜率和函數的對稱性等。

函數定義域 Domain

在函數中，一個集合中的元素稱為自變量，另一個集合中的元素則稱為應變量。函數通常表示 為 f(x)，其中 x 是自變量，而 f(x) 是相應的應變量。定義域是自變量可能取值的集合。

例如:

假設有一個函數 f(x) 表示一個人的年齡與其身高的關係。在這個函數中，自變量是人的年齡， 應變量是人的身高。函數的定義域可能是 [0, 120]，表示人的年齡在 0 到 120 歲之間。

上域 Co-domain

再以剛才的年齡身高關係作為例子:

假設有一個函數 f(x) 表示一個人的年齡與其身高的關係。在這個函數中，自變量是人的年齡， 應變量是人的身高。上域可能是 [100cm, 250cm]，表示人的身高在 100 到 250 公分之間。

自變量和應變量 Independent Variable and Dependent Variable

自變量是函數中的獨立變量，其值由函數外部給定。在函數中，自變量決定了應變量的值。在函數表示式 f(x) 中，x 是自變量。

應變量是函數中的依賴變量，其值由函數內部計算得到。在函數中，應變量的值取決於自變量的值。在函數表示式 f(x) 中，f(x) 是應變量。簡單來說，函數描述了自變量和應變量之間的關係，並將自變量的值映射到相應的應變量值。 定義域和上域定義了自變量和應變量可能的取值範圍。

自變量和應變量例子 Examples of Independent Variable and Dependent Variable

1. 面積函數:

假設有一個函數 A(x) 表示正方形的面積，其中自變量 x 是正方形的邊長，應變量 A(x) 是正方 形的面積。在這個函數中，定義域和上域都可能是正實數集合，因為邊長和面積都不能為負 數。

例如，如果函數 A(x) 的表示式是 A(x) = x^2，那麼當正方形的邊長為 5 公分時，其面積就是 A(5) = 5^2 = 25 平方公分。這個函數的圖像是一條斜率為正的曲線，橫軸表示邊長，縱軸表示面積，函數的曲線上每一個 點都表示一個邊長與面積的對應關係。

2. 時間函數:

假設有一個函數 T(x) 表示一個物體從一個高度落下到地面所需要的時間，其中自變量 x 是物 體的初始高度，應變量 T(x) 是物體從這個高度落下到地面所需的時間。在這個函數中，定義域可能是正實數集合，因為物體的高度不能為負數，而上域可能是正實數集合，因為時間不能為負數。

函數的記法

函數是一種將一個集合的元素映射到另一個集合的規則，這些集合可以是數字、文字、圖形等
等。在數學中，函數可以用不同的方式來表示和運用。

記住!

1. 一個input對應一個output 是函數 function
2. 多個input對應同一個output 都可以算是函數 function
3. 不過一個input對應多個output就不是個合理的函數 function

表達函數方法 Expression of a Function

一般來說，函數可以用以下三種方法來表示和運用:

1. 表格方法:將自變量和因變量的值放在表格中，以便更清晰地看到它們之間的關係。
2. 代數方法:使用符號和公式來表示函數，通常用x表示自變量，用f(x)表示函數的值。
3. 圖像方法:在坐標系統中繪製函數的圖像，以便更直觀地看到自變量和因變量之間的關係。

例如，以下是一個函數的示例:

f(x)=x^2+2x+1

這個函數可以用表格方法表示:

它也可以用代數方法表示:

f(x)=x^2+2x+1

最後，它可以用圖像方法表示:

以上三種表示方法可以相互轉換，因此可以根據需要使用其中的任何一種方法。

理解二次函數圖像的特徵 Understanding the characteristics of a Quadratic Function

二次函數的一般式為:y=ax2+bx+c，其中 a、b、c 為常數，a ≠ 0。二次函數的圖像是一個開口朝上或者開口朝下的拋物線。下面是二次函數圖像的一些特徵:

開口方向

當 a>0 時，拋物線開口朝上，當 a<0 時，拋物線開口朝下。

對稱軸

二次函數的圖像在對稱軸上對稱。對稱軸的方程為: x=−b/2a。

x-截距

二次函數的x-截距即為方程 y=0 的解。二次函數的x-截距可能有 0、1 或 2 個.
公式為: x = (-b±sqrt(b^2-4ac))/2a。
1. 如果判別式大於零，即 b^2–4ac>0，方程有兩個不相等的實數解。
2. 如果判別式等於零，即 b^2–4ac=0，方程有一個實數解，稱為重根。
3. 如果判別式小於零，即 b^2–4ac<0，方程沒有實數解，有兩個共軛複數解。

極值點

當拋物線開口朝上時，二次函數的最小值為其頂點;當拋物線開口朝下時，二 次函數的最大值為其頂點。頂點的坐標為:(-b/2a, (b^2-4ac)/4a)。

圖像的方向、大小和位置

:通過改變二次函數的係數 a、b、c，可以改變圖像的方向、 大小和位置。

具體地，

• a 的絕對值越大，拋物線越窄，開口越朝上或者朝下
• b 的值可以 調整拋物線的位置
• c 的值可以調整拋物線的上下移動。

以配方法求二次函數的極大值和極小值 Find the maximum and minimum value of a Quadratic Function by Completing Square

要找到二次函數的極大值和極小值，我們可以使用代數方法。以下是一個步驟的指南：

確定函數的形式

二次函數的一般形式是 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常數，且 a ≠ 0。

使用完全平方公式將函數轉換為頂點形式：將一般形式的二次函數 f(x) = ax^2 + bx + c 轉換為頂點形式，即 f(x) = a(x – h)^2 + k。這樣的轉換可以幫助我們更容易地找到頂點。

進行配方法

• 將函數中的 a 提取出來，得到 f(x) = a(x^2 + (b/a)x) + c。
• 將 (b/a)x 的一半平方後加減相同的項目，即加減 [(b/2a)^2]。此時，函數可以寫成 f(x) = a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2) + c – [(b/2a)^2]。
• 化簡函數：將函數進行化簡，得到 f(x) = a(x + b/2a)^2 + (c – b^2/4a)。

確定頂點的坐標

在頂點形式中，頂點的坐標為 (h, k)。我們可以通過觀察函數的一些特性來確定頂點的坐標：

• 如果 a > 0，則函數的抛物線開口朝上，頂點為最小值。
• 如果 a < 0，則函數的抛物線開口朝下，頂點為最大值。

計算頂點的坐標

根據完全平方公式，我們可以得到頂點坐標的計算公式：

• h = -b / (2a)
• k = f(h) = f(-b / (2a))

確定極大值和極小值

根據函數的抛物線開口方向，我們可以確定極大值或極小值的存在：

• 如果 a > 0，則函數有一個極小值，即頂點是函數的最小值。
• 如果 a < 0，則函數有一個極大值，即頂點是函數的最大值。

計算極大值或極小值

將頂點的坐標代入原始函數中，可以計算出極大值或極小值的具體數值。

以配方法求二次函數的極大值和極小值 例子

考慮以下二次函數：f(x) = 2x^2 + 4x + 1

1. 確定函數的形式：函數的一般形式是 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a = 2，b = 4，c = 1。
2. 配方法：將函數進行配方法。f(x) = 2(x^2 + 2x) + 1
3. 完成平方：將二次函數寫成完成平方的形式。f(x) = 2(x^2 + 2x + 1 – 1) + 1
   = 2((x + 1)^2 – 1) + 1化簡函數：f(x) = 2(x + 1)^2 – 2 + 1
   = 2(x + 1)^2 – 1
4. 確定頂點：由於二次函數的頂點即為極大值或極小值的位置。頂點的 x 坐標為 -b/2a = -4/(2*2) = -1頂點的 y 坐標為 f(-1) = 2(-1 + 1)^2 – 1 = -1因此，頂點的坐標為 (-1, -1)。
5. 確定極大值和極小值：由於 a > 0，函數有一個極小值，即頂點 (-1, -1) 是函數的最小值。
6. 計算極小值：將頂點的坐標代入原始函數中。極小值為 f(-1) = -1

因此，函數 f(x) = 2x^2 + 4x + 1 的極小值為 -1，在 x = -1 時達到。

常值函數 Constant Function

常值函數是一種特殊的函數形式，其中每個輸入值都對應到同一個固定的輸出值。換句話說，無論輸入是什麼，函數的輸出始終保持不變。

常值函數可以表示為以下形式：

f(x) = c

其中，c 是一個常數，表示函數的輸出值。這意味著在函數圖像中，所有的點都位於同一條水平線上。

例如：f(x) = 10

常值函數的圖像是一條平行於 x 軸的直線，並且不會隨著輸入值的改變而改變。這是因為函數的輸出值始終保持不變，所以圖像上的所有點具有相同的 y 坐標。

常值函數在數學和應用問題中有著廣泛的應用。例如，在統計學中，常值函數可以用於表示某個固定的常數，如平均值或標準差。在幾何學中，常值函數可以用於表示水平線或平面，以及其他具有固定屬性的幾何對象。

線性函數 Linear Function

線性函數是一種常見且重要的函數形式，其圖像呈現為一條直線。線性函數的定義可以表示為：

f(x) = mx + b

其中，m 是斜率（slope），表示直線的傾斜程度，b 是截距（intercept），表示直線與 y 軸的交點。

例如：f(x) = x + 3

斜率 m 決定了線性函數圖像的傾斜方向和角度。如果 m 為正數，則函數圖像向上傾斜；如果 m 為負數，則函數圖像向下傾斜；如果 m 為零，則函數圖像為水平線。

截距 b 為函數圖像與 y 軸的交點。當 x = 0 時，函數的值為 b，這就是為什麼截距 b 稱為 y 軸的交點。

線性函數的圖像是一條直線，具有均勻的傾斜度和間距。隨著 x 增加，函數的值以一定的斜率變化。這種函數形式在數學和應用中具有廣泛的應用。例如，線性函數可以用於描述速度和時間之間的關係、成本和生產量之間的關係，以及其他具有線性變化的量。

二次函數 Quadratic Function

二次函數是一種常見的函數形式，其圖像呈現為一個稱為抛物線的曲線。二次函數的一般形式可以表示為：

f(x) = ax^2 + bx + c

其中，a、b 和 c 是常數，且 a 不等於零。這裡的 x 是自變量，而 f(x) 是函數的值。

例如：

f(x)=x^2+3x-4

二次函數的圖像通常具有對稱軸，該軸是由頂點決定的垂直線。頂點的 x 坐標可以通過求解函數對 x 的一階導數為零的方程得到。頂點的 y 坐標則是 f(x) 在頂點 x 坐標位置的函數值。

當 a 大於零時，抛物線開口朝上，稱為向上凸的抛物線。當 a 小於零時，抛物線開口朝下，稱為向下凸的抛物線。

二次函數的圖像可以描述許多現實世界中的情況，例如自由落體運動的高度隨時間的變化、物體的軌跡以及其他具有曲線變化的量。

另外，二次函數的最大值或最小值取決於 a 的正負號。當 a 大於零時，函數的最小值位於頂點上方；當 a 小於零時，函數的最大值位於頂點下方。

三角函數 Trigonometric Function

對不起，我之前的回答似乎有些誤解。現在我將為您提供有關三角函數的正確解釋。

三角函數是一類與角度有關的函數，包括正弦函數（sine）、餘弦函數（cosine）、正切函數（tangent）等。這些函數在數學中非常重要，並且在許多領域中都有廣泛的應用，包括物理學、工程學、計算機圖形學等。

正弦函數（sine）

正弦函數用 sin(x) 表示，其中 x 是一個角度。對於給定的角度 x，正弦函數的值等於三角形中對應角的對邊長除以斜邊長。正弦函數的值在 -1 到 1 之間變化。

餘弦函數（cosine）

餘弦函數用 cos(x) 表示，其中 x 是一個角度。對於給定的角度 x，餘弦函數的值等於三角形中對應角的鄰邊長除以斜邊長。餘弦函數的值也在 -1 到 1 之間變化。

正切函數（tangent）

正切函數用 tan(x) 表示，其中 x 是一個角度。對於給定的角度 x，正切函數的值等於正弦函數值除以餘弦函數值。正切函數的值可以是任何實數。

這些三角函數的性質和圖像形狀都與角度有關，並且它們之間存在許多關係和恆等式。

指數函數 Exponential Function

指數函數是一種常見的數學函數形式，其特點是自變量（通常表示為 x）出現在指數的位置上。指數函數的一般形式可以表示為：

f(x) = a^x

其中，a 是一個正常數，且不等於 1。這裡的 x 是自變量，而 f(x) 是函數的值。

指數函數的圖像通常呈現出一個增長或衰減的曲線，其形狀取決於底數 a 的大小。當 a 大於 1 時，函數呈現出遞增的特性；當 0 小於 a 小於 1 時，函數呈現出遞減的特性。

例如：

• f(x) = 2^x
• f(x) = 0.05^x

指數函數具有以下重要特性：

1. 增長性：當 x 增加時，指數函數的值也隨之增加（對於 a 大於 1）或減少（對於 0 小於 a 小於 1）。
2. 指數規則：指數函數滿足一些重要的指數規則，例如指數相加、指數相減以及指數乘法規則。
3. 對稱性：對於某些特定的 a 值，指數函數具有對稱性，即 f(x) = f(-x)。

例如：

• f(x) = 2^x
• f(-x) = 2^-x

指數函數在許多領域中都有廣泛的應用，如自然科學、工程、經濟學等。它們可以用於描述成長模型、衰減模型、人口增長、利率計算等。

對數函數 Logarithmic Function

對數函數是指數函數的反函數，它們互為逆運算。對數函數的一般形式可以表示為：

f(x) = logₐ(x)

其中，a 是底數，x 是正數。對數函數的結果是指數函數中底數為 a，結果為 x 的指數。換句話說，對數函數回答了這樣一個問題：將底數 a 提升到什麼指數才能得到 x？

常見的對數函數有自然對數（底數 e）和常用對數（底數 10）。

1. 自然對數（natural logarithm）：自然對數使用符號 ln(x) 或 logₑ(x) 表示，其中 e 是自然常數（約為 2.71828）。自然對數是以 e 為底的對數函數。不過，數學 Core 的同學不需要學習
2. 常用對數（common logarithm）：常用對數使用符號 log(x) 表示，底數為 10。常用對數是以 10 為底的對數函數。

對數函數具有以下重要特性：

1. 對數的基本性質：對數函數具有一些基本的性質，例如對數乘法規則、對數除法規則和對數冪規則等。
2. 對數的性質：對數函數的圖像呈現出特定的性質，例如常用對數的圖像是遞增的且只在 x > 0 的範圍

對數函數在許多領域中都有廣泛的應用，例如數學、科學、工程和計算機科學等。它們用於解決指數方程、計算複利、描述成長率、量化信息的不確定性等。

使用 y=f(x) 的圖像解方程 f(x)=k Solve the Eqn f(x)=k using the Graph of y=f(x)

如果您想使用函數的圖像來解方程 f(x) = k，您可以按照以下步驟進行：

1. 繪製函數的圖像：首先，根據給定的函數 f(x) 的表達式，繪製它的圖像。
   這將幫助您可視化函數的行為和特徵。
2. 确定方程的解：在函數的圖像上，尋找所有滿足 f(x) = k 的點，其中 k 是給定的常數。
   這些點是方程 f(x) = k 的解。
3. 確定解的值：對於每個滿足方程的點，確定 x 的值。
   這些值是方程 f(x) = k 的解的 x 坐標。

以下是一個示例：

假設我們有一個函數 f(x) = x^2，我們想要找到方程 f(x) = 4 的解。

1. 繪製函數的圖像：根據函數 f(x) = x^2，我們可以繪製一個抛物線的圖像。
2. 尋找與 k 值相等的點：在圖像上，我們尋找函數值等於 k = 4 的點。
3. 確定解的值：在這種情況下，我們可以看到函數 f(x) = x^2 在 x = -2 和 x = 2 的地方與 k = 4 相交。因此，方程 f(x) = 4 的解是 x = -2 和 x = 2。

使用 y = f(x) 的圖像解不等式 Solve the Inequalities using the Graph of y=f(x)

要使用函數的圖像來解不等式，您可以按照以下步驟進行：

1. 繪製函數的圖像：根據給定的函數 f(x) 的表達式，繪製它的圖像。
   這將幫助您可視化函數的行為和形狀。
2. 確定不等式的解區域：在函數的圖像上，尋找滿足給定不等式的區域。
   這些區域是不等式的解。
3. 確定解的範圍：對於每個滿足不等式的區域，確定 x 的範圍。
   這些範圍是不等式的解的 x 值的範圍。

以下是一個示例：

假設我們有一個函數 f(x) = x^2，我們想要解不等式 f(x) > 1。

1. 繪製函數的圖像：根據函數 f(x) = x^2，我們可以繪製一個抛物線的圖像。
2. 尋找滿足不等式的區域：在圖像上，我們尋找函數值大於 1 的區域。
3. 確定解的範圍：在這種情況下，我們可以看到函數 f(x) = x^2 在 x < -1 和 x > 1 的地方的區域大於 1。
   因此，不等式 f(x) > 1 的解的範圍是 x < -1 和 x > 1。

函數變換

函數變換涉及在函數f(x)附近加上數字：

g(x) = a*f(bx+c)+d

函數變換 1 垂直平移 Vertical Translation

函數的垂直平移是指將函數的圖像沿著 y 軸的方向上下移動。這種變換會影響函數上每個點的 y 坐標，而 x 坐標保持不變。

若要進行函數的垂直平移，您可以使用以下一般形式的函數變換公式：

y = f(x) + c

其中，c 是平移的量，正值表示向上平移，負值表示向下平移。

若 c > 0，則函數的圖像將向上平移 c 個單位。
若 c < 0，則函數的圖像將向下平移 |c| 個單位。

例如，考慮函數 f(x) = x^2，如果我們想將它向上平移 2 個單位，則新的函數為：

y = f(x) + 2
= x^2 + 2

這將導致函數圖像上的每個點的 y 坐標增加 2 個單位，使整個圖像向上平移。

同樣地，如果我們想將函數向下平移 3 個單位，則新的函數為：

y = f(x) – 3
= x^2 – 3

這將導致函數圖像上的每個點的 y 坐標減少 3 個單位，使整個圖像向下平移。

請注意，函數的垂直平移不會改變函數的形狀或 x 坐標的值，僅影響 y 坐標的位置。

函數變換 2 垂直伸縮 Vertical Stretching/Squeezing

函數的垂直伸縮（Vertical Stretching/Squeezing）是指改變函數圖像在 y 軸方向上的尺度大小。這種變換會影響函數上每個點的 y 坐標，而 x 坐標保持不變。

若要進行函數的垂直伸縮，您可以使用以下一般形式的函數變換公式：

y = a * f(x)

其中，a 是伸縮的因子，a > 1 表示伸縮，0 < a < 1 表示壓縮。

當 a > 1 時，函數的圖像將在 y 方向上進行伸縮，使函數上每個點的 y 坐標乘以 a。
當 0 < a < 1 時，函數的圖像將在 y 方向上進行壓縮，使函數上每個點的 y 坐標乘以 a。

例如，考慮函數 f(x) = x^2，如果我們想將函數在 y 方向上伸縮為原來的兩倍，則新的函數為：

y = 2 * f(x)
= 2 * x^2

這將導致函數圖像上的每個點的 y 坐標都乘以 2，使整個圖像在 y 方向上伸縮。

同樣地，如果我們想將函數在 y 方向上壓縮為原來的一半，則新的函數為：

y = (1/2) * f(x)
= (1/2) * x^2

這將導致函數圖像上的每個點的 y 坐標都乘以 (1/2)，使整個圖像在 y 方向上壓縮。

請注意，函數的垂直伸縮會改變函數圖像的尺度大小，但不會改變函數的形狀或 x 坐標的值。

函數變換 3 水平平移 Horizontal Translation

函數的水平平移是指將函數的圖像沿著 x 軸的方向左右移動。這種變換會影響函數上每個點的 x 坐標，而 y 坐標保持不變。

若要進行函數的水平平移，您可以使用以下一般形式的函數變換公式：

y = f(x – h)

其中，h 是平移的量，正值表示向右平移，負值表示向左平移。

若 h > 0，則函數的圖像將向右平移 h 個單位。
若 h < 0，則函數的圖像將向左平移 |h| 個單位。

例如，考慮函數 f(x) = x^2，如果我們想將它向右平移 2 個單位，則新的函數為：

y = f(x – 2)
= (x – 2)^2

這將導致函數圖像上的每個點的 x 坐標減去 2，使整個圖像向右平移。

同樣地，如果我們想將函數向左平移 3 個單位，則新的函數為：

y = f(x + 3)
= (x + 3)^2

這將導致函數圖像上的每個點的 x 坐標增加 3，使整個圖像向左平移。

請注意，函數的水平平移不會改變函數的形狀或 y 坐標的值，僅影響 x 坐標的位置。

函數變換 4 水平伸縮 Horizontal Stretching/Squeezing

函數的水平伸縮（Horizontal Stretching/Squeezing）是指改變函數圖像在 x 軸方向上的尺度大小。這種變換會影響函數上每個點的 x 坐標，而 y 坐標保持不變。

若要進行函數的水平伸縮，您可以使用以下一般形式的函數變換公式：

y = f(ax)

其中，a 是伸縮的因子，a > 1 表示壓縮，0 < a < 1 表示伸長。

沒錯！這是反直覺的！

當 a > 1 時，函數的圖像將在 x 方向上進行壓縮，使函數上每個點的 x 坐標除以 a。
當 0 < a < 1 時，函數的圖像將在 x 方向上進行伸縮，使函數上每個點的 x 坐標乘以 a。

例如，考慮函數 f(x) = x^2-4，如果我們想將函數在 x 方向上壓縮為原來的一半，則新的函數為：

y = f(2x)
= (2x)^2-4
= 4x^2-4

這將導致函數圖像上的每個點的 x 坐標都除以 2，使整個圖像在 x 方向上進行壓縮。

同樣地，如果我們想將函數在 x 方向上伸長為原來的兩倍，則新的函數為：

y = f(0.5x)
= (0.5x)^2-4
= 0.25x^2-4

這將導致函數圖像上的每個點的 x 坐標都乘以 0.5，使整個圖像在 x 方向上進行伸縮。

請注意，函數的水平伸縮會改變函數圖像的尺度大小，但不會改變函數的形狀或 y 坐標的值。