【Quadratic Equations in One Unknown DSE】一元二次方程

Quadratic Equations in One Unknown 一元二次方程

一元二次方程是數學中重要且常見的概念之一。它涉及到一個未知數的平方項、一次項和常數項，並且可以用來描述許多現實世界的問題。在香港的高中數學中，一元二次方程也是中學文憑試（DSE）數學科目的一部分。在本文中，我們將探討二次方程式的基本知識、求解方法以及一些常見的解法技巧。

一元二次方程是什麼？

Quadratic Equations in One Unknown 一元二次方程是指一條方程式裏有一個未知數，而未知數的次方最大是2次方。例如:

• ax^2+bx+c=0
• x^2+ax+b=0
• y^2+c=0

解一元二次方程方法 Solving Quadratic Equations in One Unknown

• 因式法 Factorization
• 計算機 Formula 01
• 二次求根公式 Quadratic Formula
• 圖解法 Graphical Method

以因式法解二次方程 Factorization

要使用因式法解二次方程，我們需要找到一個可行的因式來分解方程式。這種方法通常適用於
以下類型的方程:

ax2+bx+c=0 其中a，b和c是已知係數。

接下來，我們將介紹解決這種類型的方程的步驟:

1. 首先，找出a，b和c的值。
2. 接著，嘗試找到一個因式組合，其乘積為ac，且其和為b。
3. 將方程重寫為兩個括號的乘積形式，例如:(mx+n)(px+q)=0，其中m，n，p和q是常數。
4. 將兩個因式分別設置為零，解出x的值。

以因式法解二次方程例子 Factorization Example

例:解方程x^2–5x+6=0

1. 首先，我們確定a，b和c的值:a = 1，b = -5，c = 6。
2. 接著，我們需要找到一個因式組合，其乘積為ac，且其和為b。在這個例子中，ac = 1×6= 6，而b = -5。因此，我們需要找到兩個數，它們的乘積為6，且它們的和為-5。這些數字是-2和-3。
3. 將方程重寫為兩個括號的乘積形式:(x–2)(x–3)=0
4. 將兩個因式分別設置為零:x – 2= 0 或 x – 3 = 0
5. 得出答案 x = 2 或x = 3

用計算機協助以因式法解二次方程 Quadratic Equations in One Unknown Calculator

以同一條題目來做說明

解 方程x^2–5x+6=0

我們需要找到兩個數，它們的乘積為6，且它們的和為-5。這些數字是-2和-3。有些同學會覺得很困難，難以想出這兩個數字。

這個時候，我們可以用計算機的內置方程來協助我們完成任務！

同學可以使用fx-50FH / fx-50FH II 的formula 01。

1. 先按formula然後按01
2. 按ax^2+bx+c=0的形式輸入a b c
3. 1 EXE -5 EXE 6
4. 同學會得到2 EXE 3
5. 即是說x = 2 或 x = 3
6. 不過，因為我們要step分，所以反推斷兩個括號:(x–2)(x–3)=0

再舉例子:

解 方程6x^2–5x+1=0

1. 先按formula然後按01
2. 按ax2+bx+c=0的形式輸入a b c
3. 6 EXE -5 EXE 1
4. 同學會得到1/2 EXE 1/3
5. 即是說x = 1/2 或 x = 1/3
6. 反推斷兩個括號:(2x–1)(3x–1)=0

以二次方程求根公式解二次方程 Quadratic Formula

二次公式解二次方程 Quadratic Formula:

針對ax^2+bx+c=0 其中 a、b、c 是實數，且 a ≠ 0。

x =(−b ± sqrt(b^2−4ac))/2a
其中，± 表示取兩個值，一個加號，一個減號，分別代表兩個解。sqrt 表示平方根，即開根號√，b^2 – 4ac 被稱為判別式，用於判斷方程的解的情況:

1. 如果判別式大於零，即 b^2–4ac>0，方程有兩個不相等的實數解 Two real roots。
2. 如果判別式等於零，即 b^2–4ac=0，方程有一個實數解，稱為重根 Repeated real roots。
3. 如果判別式小於零，即 b^2–4ac<0，方程沒有實數解，有兩個共軛複數解 Complex roots。

二次方程求根公式解二次方程例子 Quadratic Formula Solving Example

解方程 x^2 + 3x – 4 = 0
a = 1, b = 3, c = -4
判別式為 b^2 – 4ac = 3^2 – 4(1)(-4) = 25 因為判別式大於零，方程有兩個不相等的實數解。
x = (-3 ± sqrt(25)) / 2(1) = (-3 ± 5) / 2
因此，方程的解為 x = -4 或 x = 1。

反推斷兩個括號的方法更上述的方法一樣，這裏就不贅述。

以圖像解二次方程 Graphical Method

解二次方程的另一種方法是通過繪製二次函數的圖像來觀察方程的解。二次函數的一般形式
為:
f(x) = ax^2+bx+c
其中 a、b、c 是實數，且 a ≠ 0。二次函數的圖像是一個開口向上或開口向下的拋物線，其頂 點坐標為:
(-b/2a, f(-b/2a))
其中 -b/2a 是拋物線的對稱軸，f(-b/2a) 是拋物線的最大/最小值。

• 如果二次函數與 x 軸相交於兩個點，那麼方程有兩個實數解 Two real roots。
• 如果二次函數與 x 軸相交於一個 點，那麼方程有一個實數解 Repeated real roots。
• 如果二次函數沒有與 x 軸相交，那麼方程沒有實數解 Complex roots。

例如，對於方程 x^2–3x+2=0，我們可以繪製二次函數 y=x^2–3x+2 的圖像:

從圖中可以看出，二次函數與 x 軸相交於 x = 1 和 x = 2，因此方程的解為 x = 1 和 x = 2。

而且留意二次方程的拋物線都會有一條對稱軸穿過最大/最小值得那點。

二次方程 根與係數的關係 Relationship between roots and coefficients

針對ax^2+bx+c=0 其中 a、b、c 是實數，且 a ≠ 0。
具體來說，二次方程的兩個根 x1 和 x2 滿足以下關係:

• x1+x2=−b/a
• x1x2=c/a

由已知根建立二次方程 obtain quadratic equation from known roots

兩個括號相乘 Expansion

其實就是將上面的方法調轉來做

對於ax2+bx+c=0 其中 a、b、c 是實數，且 a ≠ 0。 我們已知二次方程的兩個根 x1 和 x2 具體步驟如下:

1. 建立括號 (x−x1)(x−x2)。
2. 展開括號，得到 x2–(x1+x2)x+x1x2。
3. 因為二次方程的一般形式為 ax2+bx+c=0，因此需要將展開後的式子與一般形式進行比較，得到以下方程組:

• a=1
• b=−(x1+x2)
• c=x1x2

根據上述方程組解出 a, b, c 的值，便可得到所求的二次方程 ax^2+bx+c=0。

例如，已知二次方程的兩個根為x1=2 和 x2=3，我們則可以建立括號 (x−2)(x−3)，展開得到 x2–5x+6，因此所求的二次方程為 x^2–5x+6=0。

注意:如果a, b, c 是分數，我們通常會倍大整條二次方程，使得a, b, c 是整數。

使用兩根之和 兩根之積 obtain quadratic equation using sum of roots and product of roots

假設已知二次方程的兩個根為 x1 和 x2，則我們可以使用兩根之和和兩根之積的概念建立方 程。

兩根之和: x1+x2

兩根之積: x1x2

現在我們可以建立一個二次方程，其中 a、b 和 c 是待求解的係數:

ax2+bx+c=0利用兩根之和和兩根之積的概念，我們可以得到以下的方程組:

• x1+x2=−ab
• x1x2=ac 

現在我們可以解這個方程組來求出 a、b 和 c:
a=1 b=−(x1+x2) c=x1x2

因此，我們可以使用兩根之和和兩根之積的概念來建立二次方程，並求出方程的係數。 注意:如果a, b, c 是分數，我們會倍大整條二次方程，使得a, b, c 是整數。

理解二次方程的判別式與其根的性質之關係

二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0，其中 a,b,c 是實數且 a =0。它的判別式是 D=b^2–4ac， 它決定了二次方程的根的性質。具體來說，二次方程的根可以分為以下三種情況:

1. 當 D > 0 時，方程有兩個不相等的實根。這時候，方程的根公式為 x=(−b±sqrt(b^2−4ac))/2a。其中，D 與方程的兩個實根的差的絕對值有關係，即D =|(x1–x2)/a|。因此，判別式 D 的 值越大，方程的兩個根之間的差距就越大。
2. 當 D = 0 時，方程有兩個相等的實根，即兩個根重合。這時，方程的根公式為 x = -b/2a。因此，當判別式 D=0 時，方程的兩個根相等，它們的差距為零。
3. 當 D < 0 時，方程沒有實根，而是有兩個共軛复根，即它們都是形如 x=a+bi 的複數，其中 a 和 b 都是實數，而 i 是虛數單位，滿足 i^2=−1。在這種情況下，判別式 D 的值越小，方程的兩 個虛根之間的差距就越小。

綜上所述，二次方程的判別式 D 決定了方程的根的性質，包括它們的數量、是否相等以及是 否為實數。因此，判別式是解決二次方程根的性質的關鍵。