【Locus 軌跡 DSE】5大常見軌跡｜圓形｜垂直平分線｜平行線｜角平分線【懶人包】

Locus 軌跡

在幾何學中，Locus 軌跡是指由一個或多個點在特定條件下移動形成的曲線或線段。這些條件可以是點到特定線或平面的距離相等，或者是點到特定點的距離相等，或者是點在特定線或曲線上移動等。本文將介紹 Locus 軌跡的基本概念和應用，以及如何使用代數和幾何方法來描述和解決 Locus 軌跡相關題。通過本文的學習，讀者將能夠更好地理解 Locus 軌跡的概念和應用， 並學會如何應用 Locus 軌跡解決各種幾何學的問題。

軌跡 Locus 是什麼

軌跡(Locus)是指在平面或空間中，一個移動點(Moving point)在特定條件下所留下的軌跡。軌跡可以是一條線段、曲線，或者是一個區域，例如一個圓形或橢圓形。軌跡的性質和形狀取決於移動點的特定條件，例如移動點的位置、長度等。 在數學中，軌跡的概念也可以用於描述一個函數的圖像，即函數上所有可能的點的集合。

常見軌跡條件 Common Locus

1. 與一點保持固定距離 (maintaining a fixed distance from a fixed point)
2. 與兩點保持相等距離 (maintaining an equal distance from two given points)
3. 與一直線保持固定距離 (maintaining a fixed distance from a line)
4. 與兩平行線保持相等距離 (maintaining an equal distance from two parallel lines)
5. 與兩相交直線保持相等距離 (maintaining an equal distance from two intersecting lines)

與一點保持固定距離 (maintaining a fixed distance from a fixed point)

一個點與一個固定點保持固定距離的軌跡是一個圓形。這個圓形的圓心是固定的點，半徑是與 這個點保持固定距離的距離。

具體地說，假設已知一個固定點A(x1, y1)和一個移動點B(x, y)，其中AB的距離為d，則圓心C 的坐標為A(x1, y1)，半徑為d。我們可以通過求解以A為圓心、d為半徑的圓來得到這個軌跡。

這個圓的方程是:

(x – x1)^2 + (y – y1)^2 = d^2

這個方程描述的圓形是一個點與一個固定點保持固定距離的軌跡。當移動點B在這個圓上運動 時，它與固定點A的距離始終保持不變，因此這個圓形就是它的軌跡。

與兩點保持相等距離 (maintaining an equal distance from two given points)

一個點與兩點保持相等距離的軌跡是一條直線，該直線是通過兩個點的中點且垂直於這兩個點 之間線段的中垂線的。

具體地說，假設已知兩個點A(x1, y1)和B(x2, y2)，其中AB的距離為d，則中點M的坐標為 ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。我們可以通過求解垂直AB且通過M點的直線來得到這個軌跡。

垂直於AB且通過M點的直線的斜率為-1/k，其中k為AB線段的斜率。因此，我們可以通過求解 斜率為k且通過M點的直線的方程，然後求解該直線與AB線段的交點，即可得到這個軌跡的方 程。

具體來說，斜率為k且通過M點的直線的方程為:
y – (y1+y2)/2 = k(x – (x1+x2)/2)
其中，k = (y2 – y1)/(x2 – x1)。將k帶入上式，可得: y – (y1+y2)/2 = (y2 – y1)/(x2 – x1) * (x – (x1+x2)/2) 將上式整理，可得:

y = (y2 – y1)/(x2 – x1) * x + ((x1+x2)/2)*(y1-y2)/(x2-x1) + (y1+y2)/2這個方程描述的直線就是一個點與兩點保持相等距離的軌跡。這個軌跡是一條直線，通過兩個 點的中點且垂直於這兩個點之間線段的中垂線。

與一直線保持固定距離 (maintaining a fixed distance from a line)

一個點與一條直線保持固定距離的軌跡是兩條平行線。這兩條平行線與原始直線的距離就是這

個固定距離。
具體地說，假設已知一條直線L和一個移動點P(x, y)，其中P到L的距離為d，則與L平行的兩條

直線L1和L2的方程為: L1: y = mx + (b + d)

L2: y = mx + (b – d) 其中m是L的斜率，b是L的截距，d是與L的距離。

這兩條平行線描述了一個點與一條直線保持固定距離的軌跡。當移動點P在這兩條平行線之間 運動時，它與直線L的距離始終保持不變，因此這兩條平行線就是它的軌跡。

需要注意的是，如果d=0，即移動點P在直線L上，那麼軌跡就是直線L本身，而不是兩條平行 線。

與兩平行線保持相等距離 (maintaining an equal distance from two parallel lines)

當移動點P與兩平行線保持相等距離時，軌跡是一條與兩條平行線平行的直線，而不是垂直於 兩條平行線的直線。

具體來說，假設已知兩條平行線 L1 和 L2 的方程為: L1: y = m1x + b1

L2: y = m2x + b2則兩條平行線的中點坐標分別為:

(x0, y0) = ((b2 – b1) / (m1 – m2), (m1 * b2 – m2 * b1) / (m1 – m2))

假設直線 L 與 L1 平行，且與 P(x, y) 點的距離為 d，則直線 L 的方程為:

L: y = m1x + (y – m1x0 – d)

其中，x0 和 y0 是 L1 和 L2 的中點坐標，d 是 P 點到 L1 或 L2 的距離。

這條直線描述了一個點與兩平行線保持相等距離的軌跡。當移動點 P 在這條直線上運動時， 它與 L1 和 L2 的距離始終保持相等，因此這條直線就是它的軌跡。

與兩相交直線保持相等距離 (maintaining an equal distance from two intersecting lines)

當一個點 P 與兩條相交的直線 L1 和 L2 保持相等距離時，它的軌跡是兩條以 L1 和 L2 的交點 為中心的直線段，且這兩條直線段垂直於 L1 和 L2 的角平分線，且與 L1 和 L2 的距離相等。

描述及描繪滿足某些已知條件的點之軌跡

describe and sketch the locus of points satisfying given conditions

1. 確認給定條件：確定點需要滿足的具體條件。這些條件可以是幾何關係、方程式、不等式或其他任何標準。
2. 分析條件：檢查給定條件並試著理解其意義。考慮任何數學關係或約束。
3. 數學表達條件：將給定條件轉化為數學方程式或不等式。這將有助於更有效地分析和處理條件。
4. 解方程或不等式：使用數學方法解決從給定條件推導出的方程或不等式。這將幫助您找到滿足條件的具體值或值的範圍。
5. 描述滿足給定條件的點的軌跡：基於前一步驟獲得的解答，描述表示滿足給定條件的點的幾何形狀或模式。使用適當的數學語言來描述形狀或模式。
6. 描繪軌跡：在座標平面或其他適當的圖形系統上創建點的軌跡的視覺表示。使用前一步驟中獲得的描述來引導您的描繪。繪製滿足條件的點，如果需要，連接它們以形成曲線或形狀。

在描繪軌跡時，可以使用數學軟件或手工繪圖的方式進行。使用數學軟件可以更快速地求解點的坐標，並繪製軌跡；手工繪圖需要更多的時間和精力，但可以更好地理解軌跡的形狀和特 點。 繪製軌跡時，可以使用不同顏色或線型來區分不同的軌跡，以便更好地展示和分析。

以代數方程描述點的軌跡

describe the locus of points with algebraic equations

1. 圓：滿足與一個固定點（圓心）等距離的點的軌跡可以用圓的方程描述。一個具有圓心（h，k）和半徑r的圓的一般方程是：(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2例如，如果圓心是（2，3），半徑是5，該圓的方程就是：(x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 25
2. 直線：滿足一個線性方程的點的軌跡表示一條直線。一個線性方程可以寫成以下形式：Ax + By + C = 0例如，方程2x – 3y + 4 = 0表示一條直線。
3. 拋物線：滿足二次方程的點的軌跡表示一個拋物線。一個拋物線的一般方程可以寫成以下形式：y = ax^2 + bx + c例如，方程y = x^2表示一個拋物線。
4. 橢圓：滿足以下方程的點的軌跡表示一個橢圓：((x – h)^2 / a^2) + ((y – k)^2 / b^2) = 1其中，中心為（h，k），a和b的值決定了橢圓的形狀和大小。
5. 雙曲線：滿足以下方程的點的軌跡表示一個雙曲線：((x – h)^2 / a^2) – ((y – k)^2 / b^2) = 1或者((y – k)^2 / b^2) – ((x – h)^2 / a^2) = 1其中，中心為（h，k），a和b的值決定了雙曲線的形狀和方向。