【Permutation, Combination and Probability DSE】排列, 組合與概率｜nCr nPr !(Factorial)

Permutation and Combination 排列與組合

在現實生活中，我們經常遇到需要從一組元素中選擇、排列或組合的情況。例如，在選舉中，我們要計算不同候選人的排列方式；在購物時，我們要考慮不同商品的組合方式。本文將探索排列與組合的基本概念和應用場景。我們將介紹排列和組合的定義、區別，並深入研究它們的計算方法和性質。

排列組合 Permutation and Combination 是什麼

排列（Permutation）和組合（Combination）是數學中用於描述對象排列和選擇的概念。

排列指的是從給定的元素集合中按照一定的順序選取元素，形成不同的順序。換句話說，排列考慮了元素的順序。例如，從字母集合 {A, B, C} 中選取兩個字母的所有排列結果是 {AB, AC, BA, BC, CA, CB}。

組合則是從給定的元素集合中選取特定數量的元素，而不考慮它們的順序。換言之，組合只關注元素的選擇，而不考慮它們的排列。例如，從字母集合 {A, B, C} 中選取兩個字母的所有組合結果是 {AB, AC, BC}。

排列組合 Permutation and Combination 分別

nCr nPr 分別

排列（Permutation）和組合（Combination）是數學中描述對象排列和選擇的概念，它們有一些重要的區別。

排列（Permutation）

• 排列考慮對象的順序，不同的順序會產生不同的排列結果。
• 在排列中，從給定的元素集合中選取一部分元素，按照特定的順序排列它們。
• 排列的數量通常使用符號 P 表示，例如 P(n, r) 表示從 n 個元素中選取 r 個元素進行排列的數量。

組合（Combination）

• 組合僅關注對象的選擇，不考慮它們的順序。
• 在組合中，從給定的元素集合中選取一部分元素，但不考慮它們的排列順序。
• 組合的數量通常使用符號 C 表示，例如 C(n, r) 表示從 n 個元素中選取 r 個元素進行組合的數量。

階乘 Factorial

階乘（Factorial）是一個數學運算符號，用於表示從1到給定正整數之間所有整數的乘積。它通常以符號”!”表示。

例如，5的階乘表示為5!，計算方式如下：

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

階乘在組合數學和排列組合中經常出現，用於計算排列和組合的數量。

有幾個特殊的階乘值：

0! = 1：根據定義，0的階乘被定義為1。

nCr nPr 公式

組合公式 (Combination) nCr

組合公式nCr表示從n個不同的物件中選取r個物件的組合數量，其中順序不重要。

組合公式的計算公式為：nCr = n! / (r! * (n – r)!)其中，n!表示n的階乘，r!表示r的階乘，(n – r)!表示(n – r)的階乘。

例如，從5個不同的物件中選取3個物件的組合數量可以計算為：

5C3 = 5! / (3! * (5 – 3)!) = 5! / (3! * 2!) = 10

因此，從5個物件中選取3個物件的組合數量為10。

排列公式 (Permutation) nPr

排列公式nPr表示從n個不同的物件中選取r個物件的排列數量，其中順序重要。

排列公式的計算公式為：nPr = n! / (n – r)!其中，n!表示n的階乘，(n – r)!表示(n – r)的階乘。

例如，從5個不同的物件中選取3個物件的排列數量可以計算為：5P3 = 5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = 60

因此，從5個物件中選取3個物件的排列數量為60。

排列組合的加法法則 additive rule

加法法則類似「或」的原理，用於計算兩個或多個事件的總數。根據加法法則，如果兩個事件不同時發生，那麼這兩個事件的總數等於每個事件發生的數量之和。

例如，假設你有兩個箱子，一個箱子裡有3個蘋果，另一個箱子裡有4個橙子。那麼你可以使用加法法則計算從這兩個箱子中選擇一個水果的總數。根據加法法則，總數等於蘋果的數量加上橙子的數量，即3 + 4 = 7。

在更一般的情況下，如果有n個事件，每個事件都有不同的數量，那麼這些事件的總數等於每個事件數量的總和。

排列組合的乘法法則 multiplicative rule

乘法法則類似「與」的原理，用於計算多個事件同時發生的總數。根據乘法法則，如果兩個事件相互依賴且同時發生，那麼這兩個事件的總數等於每個事件發生的數量的乘積。

例如，假設你有一件襯衫，它有3種顏色選擇（紅色、藍色、綠色），而且你有2種尺碼選擇（小號、大號）。那麼你可以使用乘法法則計算選擇一件襯衫的總數。根據乘法法則，總數等於顏色選擇的數量乘以尺碼選擇的數量，即3 × 2 = 6。

在更一般的情況下，如果有n個相互依賴且同時發生的事件，每個事件都有不同的數量，那麼這些事件的總數等於每個事件數量的乘積。

排列的概念和記法 Concept and Notation of Permutation

排列的概念 Concept of Permutation

排列是指將一組物件按照一定的順序進行排列的方式。在排列中，每個物件只能使用一次，並且物件之間的順序是重要的。

例如，考慮有3個不同的球隊：A隊、B隊、C隊。從這3個球隊中選擇3個球隊進行排列，可能的排列方式有ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。這裡，每個排列都是由三個球隊按照一定的順序組成的，且同樣的球隊可以以不同的順序出現。

排列的記法 Notation of Permutation

我們會使用特殊的符號表示排列，如nPr，其中n表示總物件數，r表示選擇的物件數。例如，4P3 表示從4個物件中選擇3個物件進行排列的方式。

解不同物件的無重排列應用題（Solving Problems on the Permutation of Distinct Objects without Repetition）

當解決不同物件的無重複排列應用題時，我們可以使用排列的概念和公式來解決問題。

問題1：有5本不同的書要放在3個不同的書架上(A,B,C)，每個書架最多只能放一本書。求放置的方式總數。

解答1：由於每個書架最多只能放一本書，所以這是一個從5本書中選取3本書進行排列的問題。根據排列的公式，我們可以計算出答案：
5P3 = 5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = 5 × 4 × 3 = 60

因此，放置的方式總數為60種。

問題2：有6位學生要排隊參加一個比賽，他們按照身高順序排隊。求不同的排隊方式總數。

解答2：由於學生按照身高順序排隊，所以這是一個從6位學生中選取6位學生進行排列的問題。根據排列的公式，我們可以計算出答案：
P(6, 6) = 6! / (6 – 6)! = 6! / 0! = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

因此，不同的排隊方式總數為720種。

組合的概念和記法 Concept and Notation of Combination

排列的概念 Concept of Combination

排列是指從一組物件中選取若干個物件，並按照不按一定的順序進行排列的方式。每個物件只能使用一次，且物件之間的順序是不重要的。

例如，考慮有4個不同的字母：A、B、C、D。從這4個字母中選取2個字母進行排列，可能的排列方式有AB、BA、AC、CA、AD、DA、BC、CB、BD、DB、CD、DC。這裡，每個排列都是由兩個字母按照一定的順序組成的，且同樣的字母以不同的順序出現會產生不同的排列。

但如果不考慮次序呢？

我們便會大幅度消減答案的數量，因為例如：AB、BA是同一個。

因此答案就只有AB、AC、AD、BC、BD、CD。

排列的記法 Notation of Combination

在排列中，常用的記法是使用下標或者括號表示排列的物件和順序。

我們會使用特殊的符號表示組合，如nCr，其中n表示總物件數，r表示選擇的物件數。例如，C(4, 2)表示從4個物件中選擇2個物件進行排列的方式。

解不同物件的無重組合應用題（Solving Problems on the Combination of Distinct Objects without Repetition）

當解決不同物件的無重組合應用題時，我們需要使用組合的概念和技巧。組合是從一組物件中選取若干個物件，順序不重要的方式。以下是一些常見的應用題型和解決方法：

選擇小組：假設有一個班級裡有10個學生，要從中選出一個小組，包含3個學生。

這是一個組合問題，因為選擇的學生順序不重要。

解決這個問題的方法是使用組合公式 C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)，其中 n 是總學生數，r 是選取的學生數。在這個例子中，答案是 10C3 = 10! / (3! * (10-3)!) = 120。

分發獎品：一個獎項抽獎活動中，有10個人參與，要從中抽出3個人獲得獎品。

這也是一個組合問題，因為抽中的人順序不重要。使用相同的組合公式 C(n, r)，解決這個問題，答案是 10C3 = 10! / (3! * (10-3)!) = 120。

彩票選號：在一個彩票遊戲中，從1到50的數字中選擇6個數字，以填寫彩票。

這是一個組合問題，因為選擇的數字順序不重要。使用組合公式 C(n, r)，解決這個問題，答案是 50C6 = 50! / (6! * (50-6)!) = 15,890,700。

概率是什麼 Probability

概率是用於描述事件發生可能性的數量化量度。在概率論中，我們使用概率來表示一個事件發生的可能性大小，通常以0到1之間的數字表示。如果一個事件發生的可能性很高，則該事件的概率接近於1，而如果一個事件發生的可能性很低，則該事件的概率接近於0。例如，擲一個公平的硬幣，正面和反面出現的概率都是1/2，即0.5。

集合的記法 The Notation of Set Language

在概率論中，集合的符號和記法是描述事件和概率的重要工具。以下是一些常用的集合記法：

常用符號：

• {}：表示一個集合。例如，{1, 2, 3} 表示包含元素 1、2 和 3 的集合。
• ∅：表示一個空集。即不包含任何元素的集合。

子集 Subset

• ⊆：表示子集。如果集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素，則 A 是 B 的子集。
  例如，A = {1, 2}，B = {1, 2, 3}，則 A ⊆ B。
• ⊂：表示真子集。如果集合 A 是集合 B 的子集，且 A 不等於 B，則 A 是 B 的真子集。
  例如，A = {1, 2}，B = {1, 2, 3}，則 A ⊂ B。

超集 Superset

• ⊇：表示超集。如果集合 A 包含集合 B 的所有元素，則 A 是 B 的超集。例如，A = {1, 2, 3}，B = {1, 2}，則 A ⊇ B。
• ⊃：表示真超集。如果集合 A 是集合 B 的超集，且 A 不等於 B，則 A 是 B 的真超集。例如，A = {1, 2, 3}，B = {1, 2}，則 A ⊃ B。

元素屬於和不屬於

• ∈：表示元素屬於。如果元素 x 是集合 A 的一個成員，則 x ∈ A。例如，x = 2，A = {1, 2, 3}，則 x ∈ A。
• ∉：表示元素不屬於。如果元素 x 不是集合 A 的成員，則 x ∉ A。例如，x = 4，A = {1, 2, 3}，則 x ∉ A。

併集 Union

∪：表示併集。兩個集合 A 和 B 的聯集，表示為 A ∪ B，包含屬於 A 或 B 的所有元素。例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，則 A ∪ B = {1, 2, 3, 4}。

交集 Intersection

∩：表示交集。兩個集合 A 和 B 的交集，表示為 A ∩ B，包含同時屬於 A 和 B 的元素。例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，則 A ∩ B = {2, 3}。

教大家記：∩ 好似英文的n，讀音是英文字“and” and 及是一種邏輯表達方式，即 A 和 B 都要符合。因此，∩ 是指包含同時屬於 A 和 B 的元素。

餘集 Complement

符號上，如果用A來表示一個集合（你可以把A看作是一個變數），那麼A的餘集就是A上方加一橫劃。有時我們也稱餘集為「補集」，因為它是將集合補充完整的意思。

在集合理論中，餘集指的是從一個集合中取出部分元素後所剩下的元素組成的集合。簡單來說，就是找到一個集合中沒有包含的元素部分。

例如，A = {1, 2, 3}，B = {1, 2, 3, 4}

A的餘集就是 {4}

溫氐圖 Venn Diagram

在溫氏圖中，每個集合表示為一個圓形區域，並且這些圓形區域可以重疊或不重疊。每個圓形區域代表一個集合，而重疊的區域表示具有共同元素的交集。圓形區域之外的部分表示集合中不包含的元素。

在這個示例中，圓形區域 A 代表集合 A，圓形區域 B 代表集合 B。兩個圓形區域的交集部分（表示為 ∩）表示集合 A 和集合 B 的交集。

溫氏圖可以用於顯示集合之間的各種關係，例如交集、聯合、互斥等。它提供了一種直觀且易於理解的方式來可視化集合之間的關係，尤其在解決集合運算相關問題時非常有用。

概率的記法 Notation of Probability

概率的記法在概率論和統計學中有不同的符號和標記方法。以下是一些常見的概率表示方法：

1. P(A)：表示事件 A 發生的概率。通常使用大寫字母 P 來表示概率。
2. P(A|B)：表示在事件 B 發生的條件下，事件 A 發生的概率。這是條件概率的表示方法，其中 “|” 符號表示「在…的條件下」。
3. P(A ∩ B)：表示事件 A 和事件 B 同時發生的概率。這是兩個事件的交集。
4. P(A U B)：表示事件 A 或事件 B 發生的概率。這是兩個事件的聯集。
5. P(A’)：表示事件 A 不發生的概率，也稱為事件 A 的補集。通常使用上標 “‘” 或 “c” 來表示。

概率加法定律 Law of Addition

概率加法定律（Law of Addition）是概率論中的一個基本原理，用於計算兩個事件聯合發生的概率。

根據概率加法定律，如果有兩個事件 A 和 B，則它們聯合發生的概率可以通過以下公式計算：

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

其中，P(A ∪ B) 表示事件 A 和事件 B 發生的聯合概率，P(A) 表示事件 A 的概率，P(B) 表示事件 B 的概率，P(A ∩ B) 表示事件 A 和事件 B 同時發生的概率。

這個公式的解釋是，兩個事件 A 和 B 聯合發生的概率等於事件 A 的概率加上事件 B 的概率，再減去事件 A 和事件 B 同時發生的概率。這是因為在計算 P(A) 和 P(B) 時，我們將 P(A ∩ B) 算兩次，所以需要減去一次，以避免重複計算。

互斥事件 Mutually Exclusive

互斥事件是指在同一次試驗中，兩個事件無法同時發生的情況。換句話說，如果一個事件發生了，那麼另一個事件就不可能發生。

在概率論中，如果有兩個互斥事件 A 和 B，則它們的聯合概率為：

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

這是因為互斥事件的定義意味著它們不可能同時發生，所以它們的交集概率 P(A ∩ B) = 0。因此，根據概率加法定律，兩個互斥事件的聯合概率等於它們各自的概率之和。

舉例來說，考慮擲一個公正的硬幣的情況。事件 A 是出現正面，事件 B 是出現反面。由於硬幣只有兩面，因此事件 A 和事件 B 是互斥事件。在這種情況下，P(A) = 0.5，P(B) = 0.5，並且根據概率加法定律，P(A ∪ B) = 0.5 + 0.5 = 1。

互斥事件在概率計算中很常見，特別是在處理相互排斥的情況或選擇其中一個事件發生的情況時。通過確定事件的互斥性質，我們可以更容易地計算概率並進行推理。

互補事件 Collectively Exhaustive

互補事件是指在一個樣本空間中，兩個事件互相排斥且加起來涵蓋整個樣本空間的情況。換句話說，互補事件是指當一個事件發生時，另一個事件一定不發生。

在概率論中，如果有一個事件 A，其互補事件表示為 A’ 或 A^c，它包含了所有不屬於事件 A 的樣本點。

互補事件的概率可以通過以下公式計算：

P(A’) = 1 – P(A)

也就是說，互補事件的概率等於 1 減去事件 A 的概率。這是因為事件 A 和其互補事件 A’ 加起來構成了整個樣本空間，其概率之和應該等於 1。

舉例來說，考慮擲一個公正的骰子的情況。事件 A 是出現奇數點數，即 {1, 3, 5}。事件 A’ 是出現偶數點數，即 {2, 4, 6}。在這種情況下，P(A) = 3/6 = 1/2，因此 P(A’) = 1 – P(A) = 1 – 1/2 = 1/2。

互補事件在概率計算中也很常見，特別是當我們想要計算某個事件不發生的概率時，可以利用互補事件的概率來獲得。同樣地，互補事件的概念也可以用於推理和證明中。

概率乘法定律 Law of Multiplication

概率乘法定律（Law of Multiplication）是概率論中的一個基本原理，用於計算多個事件同時發生的概率。

根據概率乘法定律，如果有兩個事件 A 和 B，它們的發生是相互獨立的，那麼它們同時發生的概率可以通過以下公式計算：

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

其中，P(A ∩ B) 表示事件 A 和事件 B 同時發生的概率，P(A) 表示事件 A 的概率，P(B) 表示事件 B 的概率。

這個公式的解釋是，兩個獨立事件同時發生的概率等於事件 A 發生的概率乘以事件 B 發生的概率。這是因為當事件 A 和事件 B 是獨立的時候，它們的發生並不會相互影響。

需要注意的是，概率乘法定律只適用於獨立事件。如果事件 A 和事件 B 不是獨立的，那麼它們同時發生的概率不能簡單地通過相乘來計算，而需要考慮它們之間的相關性。

獨立事件 Independent Event

獨立事件是指兩個或多個事件之間的發生不相互影響的情況。換句話說，當一個事件發生與否並不改變其他事件發生的概率時，這些事件被視為獨立事件。

具體而言，如果事件 A 和事件 B 是獨立事件，則以下兩個條件成立：

1. 事件 A 的發生與否不會影響事件 B 的概率。
   換句話說，P(B|A) = P(B)，其中 P(B|A) 表示在事件 A 發生的條件下事件 B 發生的概率。
2. 事件 B 的發生與否不會影響事件 A 的概率。
   換句話說，P(A|B) = P(A)，其中 P(A|B) 表示在事件 B 發生的條件下事件 A 發生的概率。

簡單來說，獨立事件的發生與否不會相互影響彼此的概率。舉例來說，擲一個公正的硬幣和擲一個公正的骰子是兩個獨立事件。硬幣正面朝上的概率不會影響骰子出現特定點數的概率，反之亦然。

在概率計算中，如果兩個事件是獨立事件，則可以使用概率乘法定律來計算同時發生的概率。根據概率乘法定律，兩個獨立事件 A 和 B 同時發生的概率等於事件 A 發生的概率乘以事件 B 發生的概率：P(A ∩ B) = P(A) × P(B)。

獨立事件的概念在統計學、機率論、資料分析和實際應用中非常重要。通過確定事件之間是否獨立，我們可以更準確地計算概率、進行推論並解決各種問題。

條件概率的概念 Concepts of Conditional Probability

條件概率是概率論中的一個概念，用於描述在某個已知條件下事件發生的概率。它表示在給定某個特定條件下，事件發生的可能性。

給定兩個事件 A 和 B，事件 B 發生的條件下事件 A 發生的概率，表示為 P(A|B)，讀作「在 B 發生的條件下 A 發生的概率」。這裡，P(A|B) 是事件 A 在已知 B 發生的情況下的條件概率。

條件概率的計算公式為：

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

其中，P(A ∩ B) 表示事件 A 和事件 B 同時發生的概率，P(B) 表示事件 B 的概率。

條件概率的計算基於對已知條件下的樣本空間進行歸一化。分子 P(A ∩ B) 表示事件 A 和事件 B 同時發生的概率，而分母 P(B) 則表示在已知事件 B 發生的情況下，樣本空間的縮減。

條件概率的概念在統計學和機率論中起著重要作用。它可以用於推斷和預測，尤其在有關多個事件之間關係的情況下。例如，條件概率可以用於預測某種疾病的發生率，給定某些風險因素的情況下。它還可以用於解釋和分析樣本數據，以及在機器學習和人工智能中應用於模型訓練和預測中。

排列與組合解與概率有關的應用題 Using Permutation and Combination to Solve Problems relating to Probability

根據概率論的定義，事件 A 發生的概率可以表示為 P(A)，其中 P 代表概率。

概率是一個介於 0 和 1 之間的數值，用來衡量事件發生的可能性。具體而言，如果事件 A 是一個在樣本空間中的特定事件，則 P(A) 表示事件 A 發生的相對可能性。

例如，如果樣本空間中有 N 個等可能的結果，其中有 M 個結果屬於事件 A，則事件 A 發生的概率可以計算為 P(A) = M/N。

需要注意的是，這是一個簡單的例子，而在現實情況中，計算概率可能需要更複雜的方法，包括統計方法、條件概率、概率分佈等。

例題1

在一個撲克牌遊戲中，從一副標準撲克牌（52 張牌）中隨機抽取 5 張牌，求其中恰好有 3 張紅心的概率。

解答：在這個問題中，需要從 52 張牌中選擇 5 張牌，並且其中有 3 張紅心。可以使用組合的概念來計算概率。首先，計算總共的選擇方式，即 52C5 = 2,598,960。接下來，計算選擇 3 張紅心的方式，即 13C3 = 286。然後，計算選擇 2 張非紅心的方式，即 39C2 = 741。最後，計算概率為 286 * 741 / 2,598,960 = 0.082。

例題2

在一個六合彩中，參與者需要從 1~49 的數字中選擇 6 個數字，並且中獎條件是與開獎結果完全匹配。求中獎的概率。

解答：在這個問題中，需要選擇 6 個數字與開獎結果完全匹配。由於選擇的順序不重要，可以使用組合的概念來計算概率。總共有 49C6 = 13,983,816 種不同的選擇方式，而只有 1 種方式是與開獎結果完全匹配的。

所以中獎的概率為 1/13,983,816。

另一個解法：如果我們用排列的概念看待這條題目會發生什麼呢？我們總共有49P6 這麽多的排列方式，而有6! 的排列方式是可以獲獎的！

所以中獎的概率為 6!/49P6 = 1/13,983,816。

常見解題技巧 1：X個人要在一起

DSE很喜歡考類似 兩/三/X個人站在一起影相 這樣的題目。

解題思路就是把要在一起的人綁在一起，然後裡面再調換次序。

例題

假設有六個人（A、B、C、D、E、F）隨機地排成一列影相。求當中B、C和D三人能夠站在一起影相的概率。

我們可以使用排列的概念來計算概率。首先，考慮這六個人的排列方式，共有6! = 720種不同的排列方式。

然後，我們關注B、C和D三人的位置。由於他們需要站在一起，我們可以將B、C和D看作一個整體，即一個三人組合。

BCD AEF

這樣，我們可以將問題轉化為找到這個三人組合在排列中的位置。考慮B、C和D作為整體的排列方式，共有3! = 6種不同的排列方式。

然後，我們還需要考慮B、C和D在整體排列中的位置。這三個人可以在整體排列的起始位置、中間位置或結尾位置，共有4種不同的位置。即是4! 個排序方式。

因此，符合題目要求的排列方式共有3! * 4! = 144種。

所以B、C和D三人能夠站在一起影相的概率為144/720 = 1/5。

因此，這個應用題中B、C和D三人能夠站在一起影相的概率為1/5。

常見解題技巧 2：X個人不能在一起

當然，有要求在一起，當然也有要求不能在一起。

解題思路就是把不相關的人一字排開，然後在人與人中間插入不能在一起的人。

例題

有4位教練和7位運動員坐在一排中拍集體照片。如果他們隨機排列，求沒有兩位教練相鄰的概率。

要計算沒有兩位教練相鄰的概率，我們可以使用排列的概念。首先，考慮這11個人的排列方式，共有11!種不同的排列方式。

然後，我們需要計算符合條件的排列方式的數量。在這種情況下，沒有兩位教練相鄰，這意味著教練和運動員必須交替排列。

黑色尖嘴是教練可以插入去的位置，有8個位。

因此，概率 = 7! * 8P4 / 11! = 7/33