【Equations of Circles DSE】圓方程全面指南及應用【深度好文】

Equations of Circles 圓方程

圓的方程是描述圓的數學表示方式，它可以幫助我們理解圓的性質和進行相關計算。在本文中，我們將探討圓的方程，特別是在平面直角坐標系中的圓方程。我們將從基本的圓方程開始，逐步深入研究不同形式的圓方程，包括一般形式和標準形式。

圓方程是什麼 Equations of Circles

圓方程是描述圓的數學方程式，它可以用來表示一個平面上的圓。圓方程通常是由平面直角坐標系中的點的座標和圓的半徑組成。

在平面直角坐標系中，一個圓的方程通常可以表示為：

(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 其中，(h, k) 是圓心的坐標，r是圓的半徑。

除了標準形式，圓的方程還可以將標準形式展開得到一般式：

x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 其中，D、E和F是常數。

根據已知的圓心和半徑，我們可以構建圓的方程，並使用方程進行相關計算和分析。圓方程可以用來解決與圓相關的問題，如判斷點是否在圓上、計算圓的面積和周長等。

圓方程 標準式 Standard Form

圓方程標準式(Standard Form)是表示圓的一種標準形式：

(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2

其中，(h, k) 是圓心的坐標，r是圓的半徑。

具體來說，標準式中的 (x–h)2和(y–k)2 分別代表圓心到圓上任意一點的水平距離和垂直距離 的平方和，也就是圓心到這個點的距離的平方。而 r 則代表這個距離的平方根，也就是圓的半 徑。

在圓的幾何性質中，圓心是圓的中心點，半徑是從圓心到圓上任意一點的距離。因此，標準式中的 (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 就是描述圓的基本屬性，可以通過圓心和半徑來確定圓的位置和大 小。

標準式也可以用來轉換其他形式的圓方程，例如，若已知圓的一般式方程為 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，則可以通過配方和移項將它轉換為標準式。具體的步驟可以參考下面的相關內容。

圓方程 一般式 General Form

圓方程一般式(General Form)是描述圓的一種形式，它可以用來表示任意位置和半徑的圓。

一般式的表達形式是：

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

其中，D、E、F 分別為方程的係數，x 和 y 分別表示圓上任意一點的座標。

一般式中的係數可以通過圓的特定屬性來推導出來，例如圓心座標和半徑等。

與圓方程標準式不同，圓方程一般式不方便計算圓心和半徑，需要經過配方和移項才能轉換為標準式。因此，在解決具體問題時，標準式更為常用和方便。 要計算圓心座標及半徑，可以通過將圓方程一般式轉換成標準式來實現。

具體地，對於圓方程一般式:

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

可以將其變形為:

(x+D/2)^2 + (y+E/2)^2 = (D/2)^2+(E/2)^2-F

這個形式就是圓方程標準式，其中圓心座標為(-D/2,-E/2)，半徑 = sqrt((D/2)^2+(E/2)^2-F)。

因此，通過配方和移項，可以將圓方程一般式轉換成標準式，從而計算圓心座標和半徑。需要 注意的是，當 D2+E2–4F<0 時，圓方程沒有實數解，表示沒有實際的圓存在。

圓方程 一般式 General Form 轉為 標準式 Standard Form

要將圓方程從一般式轉換為標準式，可以按照以下步驟進行:

1. 將一般式中的常數項移項，將其移到等號右側。這樣可以讓方程左側只剩下 x 和 y 的一 次項和二次項。
2. 將一般式中的一次項項數除以 2，得到 D/2 和 E/2，然後將其添加到左側的 x^2 和 y^2 項中。這樣可以將 x 和 y 的一次項消去，只剩下 x^2 和 y^2 項。
3. 將左側的 x^2 和 y^2 項合併，得到 (x+D/2)2+(y+E/2)2。
4. 求出右側的常數項，即 (D/2)2+(E/2)2–F。
5. 將右側的常數項除以左側的二次項係數，即 1，得到等號右側的半徑平方。
6. 將等號右側的半徑平方開根號，得到等號右側的半徑。

因此，一般式轉換為標準式的公式為:

(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D/2)^2+(E/2)^2-F
其中，圓心座標為 (−D/2,−E/2)，半徑為 sqrt((D/2)^2+(E/2)^2-F)。

需要注意的是，如果一般式中的係數不是整數或分數，需要先通過通分化為分數形式，再進行 轉換。此外，如果一般式中的右側常數項不為零，需要先將其移項，變為等號右側的負數。

圓方程 一般式 General Form 轉為 標準式 Standard Form 例子

假設有一個圓的一般式方程為:

x^2+y^2–6x–8y+9=0

注意：x^2及y^2的係數要 = 0

要將它轉換為標準式，可以按照以下步驟進行: 

將常數項 9 移項

得到：x^2+y^2–6x–8y=−9

將 x 項和 y 項的係數除以 2，並2次方

再方程左右邊加入這兩個數字

得到：

x^2–6x+3^+y^2–8y+4^2 = −9+3^2+4^2

將完全平方形式化簡

得到：(x–3)^2+(y–4)^2=4^2

因此，圓的標準式方程為：

(x–3)^2+(y–4)^2 = 16

圓心為 (3,4)，半徑為 4。

圓方程 標準式 Standard Form 轉為 一般式 General Form

要將圓方程從標準式(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2轉換為一般式，可以按照以下步驟進行:

1. 展開標準式中的平方項，
   得到：x^2-2hx+h^2+y^2-2ky+k^2=r^2
2. 將 h^2 和 k^2 合併為一個常數項 C，
   得到：x^2-2hx+y^2-2ky+C=r^2
3. 將 C 和 移項，
   得到：x^2-2hx+y^2-2ky=C-r^2
4. 通過設D=-2h, E=-2k, F=C-r^2，
   可以得到一般式： x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

圓方程 標準式 Standard Form 轉為 一般式 General Form 例子

假設有一個圓的標準式方程為:

(x–2)^2+(y+3)^2=25

要將它轉換為一般式，可以按照以下步驟進行

將平方項展開，得到:

x^2–4x+4+y^2+6y+9=25

將常數項化簡並整理後，

得到：x^2+y^2–4x+6y-12=0

直線與圓相交 intersection of a straight line and a circle

若要找出一條直線與一個圓的交點，可以按照以下步驟進行:

1. 確定直線的方程式，假設直線方程式為 y=mx+b。
2. 確定圓的方程式，假設圓方程式為 (x−a)^2+(y−b)^2=r^2，其中 (a,b) 是圓心的坐標，r 是圓的半徑。
3. 將直線方程式代入圓方程式，得到一個關於 x 的二次方程式。將它化簡，得到標準二次方程式 ax^2+bx+c=0，其中 a、b、c 是常數。
4. 解二次方程式，得到 x 的兩個解。將每個解分別代入直線方程式，得到相應的 y 值。
5. 這些 (x,y) 坐標就是直線與圓的交點。

需要注意的是：

• 如果二次方程式沒有實數解，表示直線與圓沒有交點；
• 如果二次方程式有一個實數解，表示直線與圓相切；
• 如果二次方程式有兩個實數解，表示直線與圓相交於兩個點。

直線與圓相交 intersection of a straight line and a circle 例子

以下是一個找出直線與圓相交的例子：

假設有一條直線的方程式為 y = 2x，以及一個圓的方程式為 (x – 3)^2 + (y – 2)^2 = 4。

將直線方程式代入圓方程式，得到：
(x – 3)^2 + (2x – 2)^2 = 4。

將其化簡，得到：
x^2 – 6x + 9 + 4x^2 – 8x + 4 – 4 = 0。

合併同類項，得到：
5x^2 – 14x + 9 = 0。

現在我們需要解這個二次方程式，可以使用求根公式或其他方法求解。

解為 x1 = 1，x2 = 1.8。

將每個解分別代入直線方程式，得到相應的 y 值：
當 x = 1 時，y = 2(1) = 2。
當 x = 1.2 時，y = 2(1.8) = 3.6。

因此，直線與圓的交點為 (1, 2) 和 (1.8, 3.6)。

見下圖：