【Linear Programming DSE】線性規劃｜> < 好麻煩？一文幫你搞掂！

Linear Programming 線性規劃

在這篇文章中，我們將深入探討線性規劃的概念和原理，並介紹一些常見的求解方法和應用案例。我們將解釋如何建立線性規劃模型，優化目標函數並考慮各種限制條件。

線性規劃 Linear Programming 是什麼

線性規劃（Linear Programming）是一種數學方法，用於最佳化問題的求解。它在各種領域中都有廣泛的應用，從生產計劃到運輸路線的優化，從金融投資組合到資源分配的最佳化。線性規劃通過建立數學模型，將問題轉化為一個線性目標函數和一組線性約束條件，並在這些條件下尋找最佳解。

解聯立二元一次不等式 Solve Systems of Linear Inequalities in Two Unknowns

解聯立二元一次不等式涉及找到滿足所有給定不等式的變量值。以下是解決這種系統的一般方法：

1. 確定不等式：首先將系統中的所有給定不等式寫下來。
2. 繪製不等式圖形：將每個不等式轉換成對應的線性不等式圖形。
   對於二元一次不等式，將其重寫為斜率-截距形式（y = mx + b），然後繪製對應的直線圖形。
   如果不等式是「大於」或「小於」型別，用虛線表示；如果是「大於等於」或「小於等於」型別，用實線表示。
3. 確定區域：觀察不等式圖形的交集區域，該區域表示滿足所有給定不等式的解。
   注意區域可能是有界的或無界的。
4. 確定解的範圍：根據區域的特性，確定解的範圍。
   如果區域是有界的，則解的範圍是區域內的所有點。
   如果區域是無界的，則解的範圍可能是整個平面或一條直線。

判斷答案的範圍技巧

大家只需要記住兩句話。

• 正 x (>大過) 為右面
• 正 y (>大過) 為上面

這兩句說話可以演化成8句口號：

聯立二元一次不等式 題目 Question for solving Systems of Linear Inequalities in Two Unknowns

解聯立二元一次不等式：

• 不等式 1: 2x + y ≤ 5
• 不等式 2: x – y > 1

我們可以按照以下步驟來解決這個例子：

繪製不等式圖形

將每個不等式轉換成對應的線性不等式圖形。

• 不等式 1: 2x + y ≤ 5 (在紙上繪畫直線方程 2x + y = 5)
• 不等式 2: x – y > 1 (在紙上繪畫直線方程 x – y = 1)

確定線條的種類

觀察不等式圖形的交集區域。在這個例子中，由於第二個不等式是「小於」型別，所以我們只需要考慮虛線。

確定解的範圍

根據區域的特性，確定解的範圍。在這個例子中，解的範圍是虛線所在區域以下的所有點。

使用：

• 正 x (>大過) 為右面
• 正 y (>大過) 為上面

用 x 或 y都可以

解線性規畫應用題 Solve Linear Programming Problems

線性規劃應用題可以涉及許多不同的領域，例如生產規劃、資源分配、投資組合選擇等。

要解決線性規劃應用題，可以按照以下步驟進行：

1. 確定目標：明確定義問題的目標，是最大化還是最小化一個特定的量，例如利潤、成本或效益。
2. 建立變量：確定需要決策的變量，並給它們命名。這些變量通常是問題中的未知數，表示我們需要選擇的數值。
3. 制定目標函數：根據問題的目標，建立一個數學函數來表示目標的量。這個函數將包含先前定義的變量，並且我們將根據目標的最大化或最小化來定義它。
4. 建立約束條件：根據問題的限制，建立一組線性不等式或等式來描述這些限制。這些限制條件將包含變量和常數，並且表示我們所面臨的限制。
5. 編寫線性規劃模型：將目標函數和約束條件組合成一個線性規劃模型。這個模型將包含目標函數、變量、約束條件和變量的範圍。
6. 求解線性規劃模型：使用線性規劃求解器或相應的算法，求解線性規劃模型以找到最佳解。這將給出變量的最佳值，以實現目標並滿足所有限制。
7. 解讀結果：分析線性規劃模型的結果，評估最佳解的意義和影響。根據需要進行調整或進一步的分析。

解線性規畫應用題 例題 Example of Solving Linear Programming Problems

一個圖書館僱用了 x 名全職圖書館員和 y 名兼職圖書館員。每位全職圖書館員和兼職圖書館員的月薪分別為 15,000 元和 9,000 元。全職圖書館員的月薪支出不應超過兼職圖書館員的薪水支出，並且圖書館員月薪的總支出不應超過 66,000 元。

在座標平面上，表示滿足約束條件的解答。

首先，我們根據約束條件建立一組不等式：

1. 全職圖書館員薪水支出不超過兼職圖書館員薪水支出：
   15,000x ≤ 9,000y
2. 圖書館員月薪的總支出不超過 66,000 元：
   15,000x + 9,000y ≤ 66,000
3. x ≥ 0
4. y ≥ 0

現在我們將這些不等式表示在座標平面上：

• 將不等式 1 變成15,000x = 9,000y，並繪畫在座標圖上，這是一條實線。
• 將不等式 2 變成為 15,000x + 9,000y = 66,000，並繪畫在座標圖上，這也是一條實線。

根據這兩條直線，我們可以繪製出座標平面上的區域，表示滿足約束條件的解答。

在這個例子中，我們需要在座標平面上找到滿足以下條件的解答：

• 全職圖書館員薪水支出不超過兼職圖書館員薪水支出。
• 圖書館員月薪的總支出不超過 66,000 元。

這些解答將位於兩條直線的交集區域內。

請注意，根據具體的值，我們可以找到多個解答點。

但由於人數一定要是正整數。因此，我們會有以下這麽多的解：