【More about Equations DSE】續方程很多很亂很麻煩？現在就搞清楚！

More about Equations 續方程

解方程是高中數學中重要的一個概念，它在許多不同的領域都有廣泛的應用。從求解物理問題到解決工程問題，方程都扮演了重要的角色。在這個數學概念中，我們學習如何解決不同類型的方程，以及掌握使用不同的方法，如代入法和消元法，來解決這些方程。在本文中，我們將延伸討論如何解決各種類型的方程，包括一元二次方程、分式方程、指數方程、對數方程和三角方程等。

續方程 More about Equations 是關於什麼？

在這個課題中，重點包括學習解決二元一次聯立方程和二元二次聯立方程的問題。學生會學習如何運用代數方法和圖解法來解決二元一次聯立方程。此外，他們還會擴展到解決二元二次聯立方程，其中限定了方程的形式為 y = ax^2 + bx + c。學生還會學習解涉及可變換為二次方程的應用問題。在處理這些方程時，學生需要注意二元一次聯立方程和二元二次聯立方程解的數目上的區別。此外，他們還需要留意解可變換為二次方程的方程時的合理性，尤其是當涉及到三角函數的方程時，解僅限於0°至360°的範圍內。

運用圖解法解二元一次方程組

use the graphical method to solve simultaneous linear equations in two unknowns

以下是運用圖解法解二元一次方程組的步驟和示意圖：

假設有以下二元一次方程組:

2x + y = 4
x – y = 1

將這兩個方程式表示成直線的形式，如下圖所示：

從圖中可以看出，這兩條直線在 (5/3, 2/3) 的交點處相交，因此 x = 5/3, y = 2/3 為此方程組的解。

運用圖解法解二元二次方程組

use the graphical method to solve simultaneous quadratic equations in two unknowns

假設有以下二元二次方程組：

y = x^2-8x+14
x – y =0

將兩個方程式表示成標準的二元二次方程形式:

y = x^2 – 8x + 14
y= x

將這兩個方程式表示成二次曲線和直線的形式，如下圖所示:

從圖中可以看出，這條直線和二次曲線在兩個交點處相交，我們需要求出這兩個交點的座標。
因此，此方程組的解為 (2, 2) 和 (7, 7)。
以上就是運用圖解法解二元一次方程組和二元二次方程組的步驟和示意圖。

運用代數方法解分別為二元一次的聯立方程

use the algebraic method to solve simultaneous linear equations in two unknowns

假設有以下二元一次方程組: 

x + y = 5
2x – y = 1

我們可以使用消元法來求解這個方程組。將第一個方程式兩邊同乘以 2，得到: 2x + 2y = 10
將這個式子和第二個方程式相減，得到:
-3y = -9
解出 y = 3，將這個值代入任意一個方程式中，例如第一個方程式，得到: x+3 = 5
解出 x = 2。
因此，此方程組的解為 x = 2, y = 3。

運用代數方法二元二次方程組

use the algebraic method to solve simultaneous quadratic equations in two unknowns

假設有以下二元二次方程組: x^2 + y^2 = 9

y = x – 3

我們可以將第二個方程式中的 y 代入第一個方程式中，得到:

x^2 + (x – 3)^2 = 9

化簡後得到:

2x^2 – 6x = 0

解出 x = 0 或 3，將這兩個值代入第二個方程式中，得到:

當 y = 0 – 3 = -3 
當 y = 3 – 3 = 0

因此，此方程組的解為 (0, -3) 和 (3, 0)。

解涉及開放根的二次方程

solve quadratic equations including square roots

在解這種題目時，我們很多事都需要做全體二次方。

記住！一有這個動作，我們一定要檢查solutions，因為有機會有虛假的答案。

要解決方程√(4x + 54) = 2x + 3，我們可以按照以下步驟進行：

步驟1：理解方程的組成元素。

√(4x + 54) = 2x + 3

步驟2：對兩側進行平方，以消除根號。

(√(4x + 54))^2 = (2x + 3)^2

4x + 54 = (2x + 3)^2

步驟3：展開方程右側的平方。

4x + 54 = 4x^2 + 12x + 9

步驟4：將方程整理為標準二次方程的形式。

4x^2 + 12x + 9 – 4x – 54 = 0

4x^2 + 8x – 45 = 0

步驟5：解決這個二次方程。我們可以使用公式或配方法。

由於這個方程可以因式分解，我們可以使用配方法：

4x^2 + 8x – 45 = 0

將4x^2 + 8x – 45拆分成兩個因子：

(2x – 5)(2x + 9) = 0

根據零乘法，要使方程成立，其中一個因子必須為零。

因此，我們有兩個可能的解：

2x – 5 = 0 –> 2x = 5 –> x = 5/2

2x + 9 = 0 –> 2x = -9 –> x = -9/2

所以，我們得到了兩個解：

x = 5/2 或 x = -9/2

步驟6：檢查解是否有效。

將這兩個解代入原始方程，檢查是否滿足方程的等式。如果它們滿足，則它們是有效解。

x = 5/2 是有效解 而x = -9/2 是無效解開。

解可變換為二次方程的方程(其中包括分式方程、指數方程、對數方程和三角方程)

solve equations (including fractional equations, exponential equations, logarithmic equations and trigonometric equations) which can be transformed into quadratic equations

以下是解可變換為二次方程的方程的步驟:

分式方程 fractional equations

假設有以下分式方程:

5/x – 2/(x-1) = 1/2

要解決這個分式方程，我們需要進行以下步驟：

1. 將左側的分數進行通分，找到共同的分母。在這個例子中，共同的分母是 x(x – 1)。
   5/x – 2/(x – 1) = 1/2
   將每個分數乘以適當的因式，使得分母相同：
   (5(x – 1))/(x(x – 1)) – (2x)/(x(x – 1)) = 1/2
2. 合併分數的分子：
   (5x – 5 – 2x)/(x(x – 1)) = 1/2
   (3x – 5)/(x(x – 1)) = 1/2
3. 消除分數，將等式轉化為一個方程：
   2(3x – 5) = x(x – 1)
   6x – 10 = x^2 – x
4. 將方程轉化為標準二次方程的形式，將所有項移至一邊：
   x^2 – x – 6x + 10 = 0
   x^2 – 7x + 10 = 0
5. 解這個二次方程，可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法。在這個例子中，我們將使用因式分解：(x – 2)(x – 5) = 0
   得到兩個可能的解：
   x – 2 = 0 –> x = 2
   x – 5 = 0 –> x = 5

因此，方程的解為 x = 2 或 x = 5。請注意，由於原始方程中存在分母，我們需要檢查解是否滿足分母不為零的條件。在這個例子中，解 x = 2 及 x = 5 是有效的，它們不會將分母變為零。

指數方程 exponential equations

假設有以下分式方程:

指數方程 3^2y – 8*3^y – 9=0

1. 觀察方程中的指數項，注意到 3^2y 可以寫為 (3^y)^2，我們用一個變數代替 3^y，例如令 u = 3^y。方程轉化為：u^2 – 8u – 9 = 0
2. 現在我們得到了一個關於 u 的二次方程，我們可以嘗試因式分解或使用求根公式來解它。
   (u – 9)(u + 1) = 0
   得到兩個可能的解：
   u – 9 = 0 –> u = 9
   u + 1 = 0 –> u = -1
3. 回到原始變數 y，將 u = 3^y 帶回方程中。
   當 u = 9 時，我們有 3^y = 9。通過觀察我們知道 3^2 = 9，因此 y = 2 是一個解。
   當 u = -1 時，我們有 3^y = -1。然而，指數函數的結果總是正數，所以這個情況下沒有解。

因此，方程的解為 y = 2。

對數方程 logarithmic equations

對數方程可以通過指數化簡為二次方程。例如，考慮以下對數方程：

要解決這個對數方程，我們可以按照以下步驟進行：

1. 觀察方程中的對數項，注意到 (log x)^2 可以寫為 log(x) * log(x)，我們用一個變數代替 log(x)，例如令 u = log(x)。
   方程轉化為：u^2 – log(x^4) + 3 = 0
2. 觀察方程中的 log(x^4)，根據對數的性質，我們知道 log(a^b) = b * log(a)。
   所以 log(x^4) = 4 * log(x)。方程進一步轉化為：u^2 – 4u + 3 = 0
3. 現在我們得到了一個關於 u 的二次方程，我們可以嘗試因式分解或使用求根公式來解它。
   (u – 3)(u – 1) = 0
   得到兩個可能的解：
   u – 3 = 0 –> u = 3
   u – 1 = 0 –> u = 1
4. 回到原始變數 log(x)，將 u = log(x) 帶回方程中。
   當 u = 3 時，我們有 log(x) = 3。這意味著 x = 10^3，即 x = 1000。
   當 u = 1 時，我們有 log(x) = 1。這意味著 x = 10^1，即 x = 10。

因此，方程的解為 x = 1000 或 x = 10。

三角方程 trigonometric equations

方程是：3(sin θ)^2 – sin θ – 4 = 0

1. 觀察方程中的三角函數項，注意到 sin^2θ 可以表示為 sin θ 的平方。
   將其替換：3(sin θ)^2 – sin θ – 4 = 0
2. 將方程進行因式分解：(sinθ + 1)(3sinθ – 4) = 0。
3. 令每個因式等於零，得到兩個方程：sinθ + 1 = 0，解得 sinθ = -1。
   3sinθ – 4 = 0，解得 sinθ = 4/3（被捨棄，超出取值範圍）。
4. 對於 sinθ = -1，我們知道在單位圓上，它對應的角度是 270°。
5. 因此，在 0° 到 360° 的範圍內，方程的解為：270°

解涉及可變換為二次方程的方程之應用題

solve problems involving equations which can be transformed into quadratic equations

以下是一個應用二次方程的例子: 例題:一個園藝家種了一片長方形的花園，其中一邊比另一邊長 5 英尺，園藝家總共使用了84 平方英尺的土地。求花園的長和寬分別是多少英尺。

解法:

我們可以先設花園的寬為 x 英尺，因為長方形的一邊比另一邊長 5 英尺，所以花園的長為 x + 5 英尺。根據題目所述，花園的面積為 84 平方英尺，因此可以列出以下方程式: x(x + 5) = 84
將這個式子化簡，得到:
x^2 + 5x – 84 = 0

這是一個二次方程，可以使用求根公式求解，得到:
x = 7或-12
因為花園的寬度必須是正數，所以我們可以排除 x = -12 這個根。因此，花園的寬度為: x = 7 英尺

花園的長度為:
x + 5 = 12英尺
因此，花園的長和寬分別是 12 英尺和7 英尺。