【More about Polynomials DSE】續多項式【懶人包】

More about Polynomials 續多項式

在代數中，多項式可以用於求解方程、計算函數的值以及進行各種代數運算。它們提供了一個強大的工具，可以用於解決實際問題，並推動數學的發展。本文將探討多項式的基本概念、特性和運算法則。我們將介紹多項式的次數、係數和根的概念，並討論如何進行多項式的加法、減法、乘法和除法運算。此外，我們還將討論多項式的因式分解、除法算法和多項式方程的解法。

多項式定義 Polynomials

多項式是由一系列項組成的代數表達式。每個項由一個常數乘以一個或多個變量的冪組成。多項式的形式可以是：

P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₂x² + a₁x + a₀

其中，P(x) 是多項式的符號表示，a₀, a₁, …, aₙ 是係數，x 是變量，n 是多項式的次數。係數可以是實數或複數，而變量 x 是獨立的。

多項式在數學中有廣泛的應用。它們可以用來建模和解決各種問題，包括代數方程的求解、函數的圖像分析、數值計算和數據擬合等。多項式的運算包括加法、減法、乘法和除法，這些運算法則使得多項式成為一個強大的工具。

多項式例子

1. P(x) = 2x^3 + 5x^2 – 3x + 1：這是一個三次多項式，包含了四個項，每個項由一個常數乘以變量的冪組成。
2. Q(y) = -4y^2 + 7y – 2：這是一個二次多項式，包含了三個項。
3. R(z) = z^4 – 6z^2 + 9：這是一個四次多項式，包含了三個項。
4. S(t) = 5t^2 – 3t：這是一個二次多項式，包含了兩個項。
5. T(w) = 8w^5：這是一個五次多項式，只有一個項。

多項式必學概念 Concepts of Polynomials

係數 Coefficients

多項式中的係數是指每個項中與變量冪相乘的常數。

例如，在多項式 P(x) = 2x^3 + 5x^2 – 3x + 1 中，2、5、-3 都是各項的係數。

係數可以是實數、有理數或複數。

項數 Number of Terms

項數是指多項式中項的總數。每個項都是由一個係數乘以變量的冪組成。

例如，在多項式 P(x) = 2x^3 + 5x^2 – 3x + 1 中，有四個項，因此項數為 4。

次數

多項式的次數是指最高冪的指數。它表示多項式中項的最高次方。

例如，在多項式 P(x) = 2x^3 + 5x^2 – 3x + 1 中，最高冪是 3，因此該多項式的次數為 3。

次數可以是非負整數，並且常數項的次數為 0。

多項式判斷

要判斷一個代數表達式是否為多項式，可以檢查它是否符合多項式的定義。以下是判斷一個表達式是否為多項式的步驟：

1. 檢查項的形式：多項式由一系列項組成。每個項由一個常數乘以一個或多個變量的冪組成。確保表達式中的每個項都符合這個形式。
2. 確定變量：多項式中的變量通常表示獨立的數量或未知數。檢查表達式中是否存在符合這種要求的變量。

若代數式的變量（通常為x ）出現在分母、根號裡或絕對值中，則不能定義為「多項式」

多項式判斷

1. P(x) = 2x³ + 5x² – 3x + 1
   這是一個三次多項式，它的項只包含加法和乘法運算，並且文字符號（x）沒有出現在分母、根號或絕對值中，符合多項式的定義。
2. Q(y) = √y – 1
   這個代數式中的文字符號（y）出現在根號中，根據定義，它不是y的多項式。
3. R(z) = |3z² + 5|
   這個代數式中的文字符號（z）出現在絕對值符號中，根據定義，它不是z的多項式。

多項式除法 Division of a Polynomials

多項式除法的步驟如下：

1. 確定被除多項式和除數多項式的次數。被除多項式是我們要進行除法運算的多項式，而除數多項式是我們要除以的多項式。
2. 決定商多項式的項數。商多項式是除法運算的結果，它的項數通常比被除多項式的項數少。
3. 使用長除法的方法進行除法運算。從被除多項式的最高次項開始，將除數多項式乘以一個適當的倍數，使其與被除多項式的最高次項相減。這個步驟產生商多項式的一個項。
4. 將得到的商項乘以除數多項式，並將結果減去被除多項式，得到一個新的被除多項式。重複這個步驟直到被除多項式的次數小於除數多項式的次數。
5. 最終得到的商多項式是除法運算的商，而最後的被除多項式是除法運算的餘數。

多項式除法的結果可以表示為：

被除多項式 = 除數多項式 × 商多項式 + 餘數

進行多項式除法時，需要注意保持項的排序和冪次的降序，以確保計算的正確性。

多項式除法例子

假設我們要將多項式 P(x) = 2x^3 – 4x^2 + 3x – 1 除以多項式 Q(x) = x – 2。

現在，我們開始進行多項式除法的步驟：

• Step 1: 將被除多項式的最高次項 2x^3 除以除數多項式的最高次項 x，得到 2x^2，這是商多項式的一項。
• Step 2: 將 2x^2 乘以除數多項式 x – 2，得到 2x^3 – 4x^2。
• Step 3: 將這個結果減去被除多項式，得到 (2x^3 – 4x^2 + 3x – 1) – (2x^3 – 4x^2) = 3x – 1。
• Step 4: 現在我們檢查新的被除多項式 3x – 1 的次數。它的次數是 1，小於除數多項式的次數。

Step 5: 我們再次進行多項式除法的步驟：

將被除多項式的最高次項 3x 除以除數多項式的最高次項 x，得到 3，這是商多項式的另一項。

將 3 乘以除數多項式 x – 2，得到 3x – 6。

將這個結果減去被除多項式 3x – 1，得到 (3x – 1) – (3x – 6) = 5。

現在新的被除多項式 5 的次數是 0，小於除數多項式的次數。

最終的商多項式是 2x^2 + 3，餘數是 5。

因此，我們可以表示多項式除法的結果為：

2x^3 – 4x^2 + 3x – 1 = (x – 2)(2x^2 + 3) + 5

這表示多項式 P(x) 等於多項式 Q(x) 乘以商多項式 2x^2 + 3 再加上餘數 5。

餘式定理 Remainder Theorem

讓我們通過一個例子來演示餘式定理的應用。

假設我們有一個多項式 P(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x + 1，我們想要求除了(x-2)後的餘數。

根據餘式定理，我們將多項式 P(x) 除以 (x – 2)。

首先，我們可以使用多項式除法進行計算：

         3x^2 + x + 4
    --------------------
x - 2 | 3x^3 - 5x^2 + 2x + 1
         - (3x^3 - 6x^2)
         ---------------
                   x^2 + 2x
                   - (x^2 - 2x)
                   -----------
                           4x + 1
                           - (4x - 8)
                           --------
                                  9

根據多項式除法的結果，我們得到商多項式為 3x^2 + x + 4，餘數為 9。

現在，我們可以驗證餘式定理是否成立。將 x = 2 代入多項式 P(x) 和餘數 R：

P(2) = 3(2)^3 – 5(2)^2 + 2(2) + 1 = 24 – 20 + 4 + 1 = 9

正好等於我們先前計算出的餘數 9。

因此，餘式定理在這個例子中成立，將 x = 2 代入多項式 P(x) 得到的值等於除(x-2)的餘數。

如果將這個例子寫成橫式會更加容易理解：

P(x) = (x-2)(3x^2 + x + 4) + 9

我們如何可以令方程 = 9 呢？

答案就是將(x-2)(3x^2 + x + 4)代一個數，使其變成 0

當x=2，

P(2) = (2-2)(32^2 + 2 + 4) + 9

P(2) = 9

是不是很容易理解呢？

餘式與除式的關係

在多項式除法中，餘式與除式之間存在一個關係。這個關係可以通過餘式定理來解釋。

假設我們有一個多項式 P(x) 被除以一個非零的一次多項式 D(x)，並且進行多項式除法得到商多項式 Q(x) 和餘數 R(x)。

根據多項式除法的結果，我們可以表示為：

P(x) = Q(x) × D(x) + R(x)

R(x)的次數一定小於或等於D(x)的次數

因式定理 Factor Theorem

同學心想：又來一個定理？其實非也！

因式定理 Factor Theorem 之不過是餘式定理 Remainder Theorem 的特殊狀況：

就是餘式 = 0

也即是除式是被除式的因式 Factor

因式定理的數學表示如下：

P(a) = 0 ⇒ (x – a) 整除 P(x)

因式定理 Factor Theorem 例子

假設我們有一個多項式 P(x) = x^3 – 4x^2 + 4x – 3，我們想要判斷 x – 3 是不是 P(x) 的因式。

根據因式定理，我們需要計算 P(3) 的值。如果 P(3) 等於 0，則 x = 3 是 P(x) 的因式；否則，它不是。

將 x = 23代入多項式 P(x)：

P(3) = (3)^3 – 4(3)^2 + 4(3) – 3
= 0

由於 P(3) 等於 0，因此 x -3 是 P(x) 的因式。

不相信？讓我們用長除法解釋一次！

使用多項式除法進行計算：

          x^2 - x + 1
    ---------------------
x - 3 | x^3 - 4x^2 + 4x - 3
          - (x^3 - 3x^2)
          ----------------
                  - x^2 + 4x - 3
                  + (x^2 - 3x)
                  ----------------
                           x - 3
                           + (x - 3)
                           ---------------
                                   0

最大公因式和最小公倍式 H.C.F. of Monomial L.C.M. of Monomial

最大公因數（Highest Common Factor，縮寫為 H.C.F.）和最小公倍數（Least Common Multiple，縮寫為 L.C.M.）是數學中常見的概念，可以應用於單項式（Monomial）的情況。

最大公因式和最小公倍式在因式分解、簡化分數、求解方程等數學計算中是非常有用的工具。通過求取單項式的最大公因式和最小公倍式，我們可以進行相關計算，簡化表達式，找到共同的因子或倍數。

最大公因式

最大公因式是指兩個或多個數的公共因子中最大的那個因子。對於單項式而言，最大公因式是指兩個或多個單項式中各個字母的次數中取最小值的結果。

例如，考慮兩個單項式 6x^2y 和 12xy^2，它們的字母 x 和 y 的次數分別為 2 和 1。

最大公因式是這些次數的最小值，即 x^1y^1 = xy。

因此，單項式 6x^2y 和 12xy^2 的最大公因式是 xy。

最小公倍式

最小公倍式是指兩個或多個數的公共倍數中最小的那個倍數。對於單項式而言，最小公倍式是指兩個或多個單項式中各個字母的次數中取最大值的結果。

例如，考慮兩個單項式 3x^2 和 5xy，它們的字母 x 和 y 的次數分別為 3 和 5。

最小公倍式是這些次數的最大值，即 x^2y^1 = x^2y。

因此，單項式 3x^2 和 5xy 的最小公倍式是 15^2y。

有理函數的加、減、乘和除 Arithmetic of Rational Function

有理函數（Rational Function）是指以多項式為分子和分母的函數。

在進行有理函數的加、減、乘和除運算時，通常需要注意簡化結果，以得到最簡單的表達形式。這涉及到求最大公因式和最小公倍式，以便簡化分子和分母的多項式。

有理函數的加、減、乘和除遵循特定的規則，讓我們來看看這些運算的定義：

有理函數的加法和減法

• 加法：將兩個有理函數相加，需要將它們的分母相乘，然後將分子相加。
  最後，如果可能，簡化結果。
  例如，考慮有理函數 (p/q) + (r/s)，其中 p/q 和 r/s 是兩個有理函數，p、q、r、s 是多項式。
  分子相加後得到 pr + qs，分母為 qs。所以，結果是 (pr + qs) / qs。
• 減法：將兩個有理函數相減，需要將它們的分母相乘，然後將分子相減。
  最後，如果可能，簡化結果。
  例如，考慮有理函數 (p/q) – (r/s)，其中 p/q 和 r/s 是兩個有理函數，p、q、r、s 是多項式。
  分子相減後得到 ps – qr，分母為 qs。所以，結果是 (ps – qr) / qs。

有理函數的乘法

有理函數的乘法遵循分子相乘、分母相乘的規則。最後，如果可能，簡化結果。
例如，考慮有理函數 (p/q) * (r/s)，其中 p/q 和 r/s 是兩個有理函數，p、q、r、s 是多項式。
分子相乘後得到 pr，分母相乘後得到 qs。所以，結果是 (pr) / (qs)。

例子：

考慮有理函數 (2x^2 – 3)/(x + 1) 和 (x^2 + 2x)/(x – 2)。

乘法：將兩個有理函數相乘，直接將分子相乘，分母相乘。
分子相乘：(2x^2 – 3) * (x^2 + 2x) = 2x^4 + 4x^3 – 3x^2 – 6x。
分母相乘：(x + 1) * (x – 2) = x^2 – x – 2。

所以，(2x^2 – 3)/(x + 1) * (x^2 + 2x)/(x – 2) = (2x^4 + 4x^3 – 3x^2 – 6x)/(x^2 – x – 2)。

我們可以因式分解分子和分母，以找到公因式：

分子：2x^4 + 4x^3 – 3x^2 – 6x
= 2x(x^3 + 2x^2 – (3/2)x – 3)

分母：x^2 – x – 2
= (x – 2)(x + 1)

現在，我們可以看到分子和分母都有一個公因式 (x – 2)。我們可以將這個公因式約簡掉：

(2x(x^3 + 2x^2 – (3/2)x – 3))/((x – 2)(x + 1))
= 2x(x^3 + 2x^2 – (3/2)x – 3)/(x + 1)

有理函數的除法

有理函數的除法可以通過將除數取其倒數，然後進行乘法運算。即，將有理函數 (p/q) 除以 (r/s) 可以表示為 (p/q) * (s/r)。
因此，有理函數的除法可以轉化為乘法。然後，按照乘法的規則進行計算。

例子：
考慮有理函數 (3x^3 – 2x^2 + x)/(x^2 – 1) ÷ (2x – 3)/(x^2 + 2x + 1)。

= (3x^3 – 2x^2 + x) * (x^2 + 2x + 1)/((x – 1)(x + 1)) * (x^2 + 2x + 1)/(2x – 3)
= (3x^3 – 2x^2 + x) * (x^2 + 2x + 1)/(x – 1)(x + 1)(2x – 3)

分子：3x^3 – 2x^2 + x
可以因式分解為 x(3x^2 – 2x + 1)

分子：x^2 + 2x + 1
可以因式分解為 (x+1)^2

分母：(x – 1)(x + 1)(2x – 3)
這已經是因式分解的形式，無法再簡化。

將分子和分母的因式分解後的形式代入原表達式：

x(3x^2 – 2x + 1) * (x+1)^2/((x – 1)(x + 1)(2x – 3))

=x(3x^2 – 2x + 1)(x+1)/(x-1)(2x-3)

一元三次方程

一元三次方程的一般形式為：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中 a、b、c、d 是實數且 a ≠ 0。

我們來看一個例子：

2x^3 – 5x^2 + 3x – 1 = 0

DSE題目通常會讓你知道其中一個因式，然後您就可以把一元三次方程變成一元二次方程，

在用Fomrula 01 解決！

不過，我們還有一個更加快的方法，那就是一元三次program！

這題題目的答案就先買個關子吧！