【Basic Properties of Circles DSE】圓形的基本特性｜好多好亂？

Basic Properties of Circles 圓形的基本特性

圓形是幾何學中一個重要的形狀，它具有獨特的特性和性質，對於數學和幾何學的學習都至關重要。了解圓形的基本特性不僅可以幫助我們理解它的形狀和結構，還可以應用於解決各種問題。在這篇文章中，我們將介紹圓形的幾個基本特性，包括半徑、直徑、圓周、面積和弧度。通過深入瞭解這些特性，我們將能夠更好地應用它們來解決與圓形相關的數學問題。讓我們一起探索圓形的基本特性，並發現它們在數學和現實世界中的重要性！

圓形的基本特性學什麼？ Basic Properties of Circles

圓的基本性質涵蓋了弦、弧、圓心角、圓周角和圓內接四邊形的特點。弦是圓上任意兩點之間的線段，同一弦上的兩個弧所對應的角度相等。圓心角以圓心為頂點，其度數等於對應的弧度數。圓周角則以圓上兩點和圓心為頂點，其度數等於對應弧度度數的一半。圓內接四邊形的特點包括對角線互相垂直且交於一點，且對角線長度相等。此外，四個點共圓意味著它們在同一圓上，可形成圓內接四邊形。這些性質和判別法是研究圓形幾何學時的基礎，有助於解決與圓相關的幾何問題。

圓心至弦的垂線(Perpendiculars to Chords)

這組圓形特性有3個。這次的主角包括：圓心、弦及垂線。這個定理圍繞著3個關係：

1. 垂直
2. 平分
3. 穿過圓心

同學學習一下就會發現只要上述3個關係有兩個成立，第三個必然成立。

圓心至弦的垂線平分弦(perpendicular from centre to chord bisects chord)

定理敘述如下：

如果在一個圓中，從圓心引一條垂直於弦的線，則這條線會平分該弦。

換句話說，如果一條弦的中垂線通過圓心，那麼這條弦就會被平分成兩等分。

這個定理可以用來解決各種與弦有關的問題，例如計算弦的長度、確定圓心位置等。

圓心至弦中點的連線垂直弦(line joining centre to mid-pt. of chord ⊥ chord)

定理敘述如下：

如果在一個圓中，從圓心引一條連接圓心和弦中點的線，則這條線會垂直於該弦

換句話說，如果一條線段連接圓心和弦中點，那麼這條線段就會與弦垂直。

這個定理可以用來解決各種與圓和弦有關的問題，例如確定圓心位置、計算弦的長度、確定弦 的位置等。

弦的垂線平分線穿過圓心( ⊥ bisector of chord passes through centre)

定理敘述如下：

一條弦的垂直平分線會穿過圓心。

換句話說，如果一條弦有一條垂直於它且平分它的線，那麼這條垂直平分線會穿過圓心。

這個定理可以用來解決各種與圓和弦有關的問題，例如確定圓心位置、計算弦的長度、確定弦的位置等。

圓形等弦(equal chords of a circle)

這組圓形特性有兩個。這次主角包括：兩條弦以及兩個弦心距。

弦心距（Chord Length）是指圓心與弦中點的垂直最短距離。

這個定理圍繞著2個關係：

1. 等弦
2. 等弦心距

同學學習一下就會發現只要上述2個關係有1個成立，第二個必然成立。

等弦心距對等弦(chords euidistant from centre are equal)

定理敘述如下：

指在一個圓中，如果有兩條弦與圓心的距離相等，那麼這兩條弦的長度也是相等的。

等弦對等弦心距(equal chords, equidistant from centre)

定理敘述如下：

如果有兩條弦與圓心的距離也相等，那麼這兩條弦是等長的。

圓的角(Relationship between Angle in Circle)

這組圓形特性有4個。這次的主角包括：圓周角、圓心角。

同學只要細心留就會發現其中一個定理：圓心角兩倍於圓周角 (∠ at centre twice ∠ at circumference)可以演變另外兩個定理。因此，這組圓形特性其實沒有想像中多。

圓心角兩倍於圓周角 (∠ at centre twice ∠ at circumference)

圓心角兩倍於圓周角這個定理是指，當一個圓中存在一個圓心角和一個與之相對的圓周角時， 這個圓心角的大小是圓周角大小的兩倍。

圓心角是由圓心和圓周上兩個點所形成的角度。而圓周角是由圓周上兩個點所形成的角度。

在一個圓中，如果一個圓心角和一個與之相對的圓周角都對應於相同的弧，那麼這個定理就成立。此時，圓心角的角度是圓周角角度的兩倍。

半圓上的圓周角(∠ in semi-circle)

半圓上的圓周角是指在一個半圓上所對應的圓周角，也就是由半圓上的任意兩個點所形成的角
度。

由於半圓的圓心角度數為 180 度，因此半圓上所對應的圓周角大小是 90 度直角。

其實這個只是圓心角兩倍於圓周角 (∠ at centre twice ∠ at circumference)的特殊例子，剛好圓周角及圓心角是比較整齊的數字。

半圓上的圓周角定理是解決與半圓有關的問題時非常有用的工具，例如計算半圓的周長、面積
等。

半圓上的圓周角的逆定理(converse of ∠ in semi-circle)

半圓上的圓周角的逆定理是指，如果一個圓周角的大小為 90 度，那麼它一定對應於圓上的
一個半圓。

那麼這個直角三角形的斜邊必定是一個圓形的直徑。

這個逆定理可以用來確定一個圓周角所對應的半圓，或確定圓上的一個半圓。

半圓上的圓周角定理和逆定理是解決與圓和半圓有關的問題時非常有用的工具，例如計算弧
長、弧度、面積等。

同弓形內的圓周角(∠s in the same segment)

同弓形內的圓周角是指在一個弧形內所對應的圓周角，也就是由弧形上的任意兩個點所形成的
角度。

在同一個弧形內，不同的圓周角的大小可以不同。但是，如果兩個圓周角所對應的弧形大小相
等，那麼它們所對應的圓周角大小也相等。

這個定理可以用來解決各種與弧形和圓周角有關的問題，例如計算弧長、扇形面積等。

等角等弧等弦(Equal Relations among Angles, Arcs and Chords)

圓心角、弧、弦三角人有一個很「曖昧」的三角關係。

只要其中一組等於，另外兩組都會等於

因此，這組圓形特性會有6個定理：

1. 等角等弧（Equal angles, equal arcs）：
   如果兩個圓心角相等，則它們所對應的圓弧長度也相等。
   即，如果∠AOB = ∠COD，則弧AB = 弧CD。
2. 等角等弦（Equal angles, equal chords）：
   如果兩個圓心角相等，則它們所對應的弦長度也相等。
   即，如果∠AOB = ∠COD，則弦AB = 弦CD。
3. 等弧等角（Equal arcs, equal angles）：
   如果兩個圓弧長度相等，則它們所對應的圓心角也相等。
   即，如果弧AB = 弧CD，則∠AOB = ∠COD。
4. 等弧等弦（Equal arcs, equal chords）：
   如果兩個圓弧長度相等，則它們所對應的弦也相等。
   即，如果弧AB = 弧CD，則弦AB = 弦CD。
5. 等弦等角（Equal chords, equal angles）：
   如果兩條弦長度相等，則它們所對應的圓心角也相等。
   即，如果弦AB = 弦CD，則∠AOB = ∠COD。
6. 等弦等弧（Equal chords, equal arcs）：
   如果兩條弦長度相等，則它們所對應的圓弧長度也相等。
   即，如果弦AB = 弦CD，則弧AB = 弧CD。

在圓形中，角度、弧和弦之間有許多相等關係。這些關係對於幾何學非常重要，可以用來解決
與圓形相關的不同問題。

弧長與圓心角成比例(arcs prop. to ∠s at centre)

其中，弧長是圓上的一段弧的長度，而圓心角是以圓心為頂點的角度。

這個比例關係可以通過以下方式解釋：

當圓的半徑的時候，弧長越大，對應的圓心角會越大；

當圓的半徑相同的時候，圓心角越大，對應的弧長也會越大。

這個性質在幾何學和三角學中有廣泛的應用，可以用於計算圓的弧長或圓心角，或者在已知圓的弧長或圓心角的情況下計算其他相關量。

例如：

10.44/7.8 = 75.44°/56.38° = 1.338

弧長與圓周角成比例(arcs prop. to ∠s at circumference)

弧長是圓上的一段弧的長度，圓周角是以圓心為頂點的夾在兩個弧上的角度。
這個比例關係可以解釋為，當你順時針或逆時針沿著圓的周長移動時，對應的弧長與所掃過的圓周角度數是成比例的。

例如：

5.7/3.1 = 24.21/13.19 = 1.83

圓內接四邊形(Cyclic quadrilateral)

圓內接四邊形是指四個頂點都在同一個圓上的四邊形。這種四邊形也被稱為圓周四邊形或圓內接四邊形。

圓內接四邊形相關的特性(Properties related to Cyclic quadrilateral)

這組圓形特性有5個。這次的主角包括：圓內接四邊形及圓周角。

這組圓形特性雖然看似非常多，但同學只要細心留就會發現其中1個特性：圓內接四邊形對角(opp ∠s, cyclic quad)可以演變成另一個特性，然後這兩個特性的相反就是第3及第4的特性。

因此，圓形特性其實沒有那麼難學！

圓內接四邊形對角(opp ∠s, cyclic quad)

對於一個圓內接的四邊形，，它有一個特殊的性質，即對角線的相對角之和等於180度。

假設我們有一個圓內接的四邊形，其中ABCD是四邊形的頂點，AC和BD是對角線。根據圓內接四邊形的性質，我們可以得出以下結論：

∠A + ∠C = 180°
∠B + ∠D = 180°

圓內接四邊形外角(ext ∠s, cyclic quad)

對於一個圓內接的四邊形，它的外角（外部對角）也具有一個特殊的性質。

外角是指由四邊形的一條邊和其相鄰的兩條邊所形成的角。

在幾何學中，外角和內對角是與多邊形的邊相關的兩個術語。

外角（external angle）是指由多邊形的一條邊和其相鄰的兩條邊所形成的角。換句話說，外角是位於多邊形外部的角度。

內角（interior angle）是指由多邊形的一條邊和其他兩條邊所形成的角，且該角位於多邊形的內部。換句話說，內角是位於多邊形內部的角度。

對於圓內接四邊形的外角，以下性質成立：

外角∠A = ∠C

外角∠B = ∠D

換句話說，對於圓內接四邊形，外角的大小是由對角線所形成的內角決定的。

具體來說，如果我們觀察四邊形的對角線AC和BD，外角∠A的大小等於內角∠C，而外角∠B的大小等於內角∠D。

對角互補(opp ∠s supp.)

對角互補是指在任何四邊形中，對角線的對角（相對角）是互補角。互補角是指兩個角的和等於90度。

對於一個四邊形ABCD，其中AC和BD是對角線，∠A和∠C是對角，∠B和∠D是對角。根據對角互補的性質，我們可以得出以下結論：

∠A + ∠C = 180°
∠B + ∠D = 180°

外角=內對角(ext. ∠ = int. opp. ∠)

在一個四邊形中，如果外角 = 內對角，那麼這個四邊形的四個角是共圓。

換句話說，這個四邊形就是圓內接四邊形。

同弓形內的圓周角的逆定理(converse of ∠s in the same segment)

如果一條線段在同一側形成兩個相等的角，則這四個點共圓（共圓性）。這是弦所對應角度的逆定理（同一弧內角）的逆定理。這個逆定理非常有用，因為它用於證明一個四邊形是共圓的。

這個逆定理聲明，如果一條線段在同一側形成兩個相等的角，那麼這四個點（線段的兩個端點和角的兩個頂點）共圓。這也被稱為共圓性質。

這個逆定理非常有用，因為它可以用來證明一個四邊形是共圓的。如果我們有一個四邊形，並且我們可以證明對角線的對應角度相等，那麼我們可以得出結論，這個四邊形的四個頂點共圓。

圓的切線 Tangents to Circles 是什麼

圓的切線（Tangents to Circles）是指在幾何學中，與圓相切於一點並且僅與圓相交於該點的直線。切線在該切點處垂直於圓的半徑。圓的切線在幾何學和應用數學中有廣泛的應用。它們可以用於解決各種問題，例如確定兩個圓的位置關係、求解圓的切點坐標、計算切線的斜率和方程等。

圓切線特性 Tangent properties of circle

這組圓切線特性有無5個，一樣看起來好像有很多個，但其實只有下面3個：

1. 切線與半徑 Tangent and Radius
2. 切線性質 Tangent Properties
3. 交錯弓形上的圓周角 angle in alt segment

其中兩個的逆定理就成為第4及第5個定理。

切線與半徑 Tangent and Radius

這組圓形特性有兩個。主角包括：切線及半徑。

這個定理圍繞著2個關係：

1. 切線
2. 垂直

同學學習一下就會發現只要上述2個關係有1個成立，第二個必然成立。

切線 ⊥ 半徑 Tangent ⊥ Radius

切線與圓的半徑相切的點處，切線線段與該半徑線段垂直相交。

這個結論可以通過幾何推理或使用三角幾何學中的性質來證明。我們可以想像圓心至弦的中點垂直於弦。

現在慢慢把弦線推出圓圈，去到最極限的位置，那條弦線會變成切線。

切線 ⊥ 半徑的逆定理 Converse of Tangent ⊥ Radius

切線垂直半徑的逆定理是指：如果一條直線與一個圓相交於圓上的一點，並且相交的線段垂直於該圓的半徑，那麼該直線是該圓的切線。

切線性質 Tangent Properties

這組性質就是關於由圓形外面畫出兩條圓的切線，而且這些特性都非常合乎人類直覺，比較易於接受。

如果PA PB 都是圓的切線，那麼：

1. x = y
2. m = n
3. PA = PB

交錯弓形上的圓周角 angle in alt segment

若PQ切圓於T，那麼：

• ∠QTA = ∠TBA
• ∠PTB = ∠TAB

交錯弓形上的圓周角的逆定理 Connverse of angle in alt segment

這個定理就是上面的反轉版本。

交錯弓形上的圓周角的逆定理（Converse of angle in alternate segment）是指：如果一個角與一個圓上的切線相對應的交錯弓形上的圓周角相等，那麼這個那條線就是切線。

如果∠QTA = ∠TBA 或 ∠PTB = ∠TAB

PQ就是切線並切圓於T

公切線 Common Tangent

公切線（Common Tangent）是指兩個圓或球的切線中，同時與這兩個圓或球相切的直線。公切線有以下幾種情況：

1. 內公切線：當兩個圓或球相交於一個點，公切線在這個點處與兩個圓或球內切。
2. 外公切線：當兩個圓或球相離，公切線在兩個圓或球的外部與之相切。
3. 雙重公切線：當兩個圓或球相切於兩個不同的點，公切線在這兩個點處與兩個圓或球外切。

公切線具有以下一些特點：

• 公切線是兩個圓或球的共同性質，它同時與兩個圓或球相切。
• 公切線在與圓或球相切的點處與圓的半徑或球的半徑垂直相交。