【三角形四心 DSE】Centres of triangles｜四心Program【中英對照】

Centres of triangles 三角形四心

三角形是幾何學中最基本的形狀之一，而在三角形中，有四個特殊的點被稱為”四心”。四心是數學卷一Section B的常客，有時候也會出現在MC中。然而，當每次有這類題目，答對率都是不理想。在本文中，我將帶你逐步了解四心的概念，並介紹一些簡單而實用的方法來計算它們。

三角形四心 Centres of triangles 是什麼

三角形的四心是指形心（Centroid）、外心（Circumcentre）、內心（Incentre）和垂心（Orthocentre）。它們是與三角形相關的特殊點。

1. 形心：形心是由三角形的三條中線的交點所確定的點。
2. 外心：外心是可以通過三條垂直平分線所確定的圓心。外接圓是唯一與三角形的三個頂點相交的圓。
3. 內心：內心是由三角形的三條角平分線的交點所確定的點。角平分線是從三角形的一個頂點出發，將對應的角平分成兩個相等角的線段。內心是可以與三角形的三條邊相切的唯一圓的圓心。
4. 垂心：垂心是三角形的三條高的交點所確定的點。

形心 Centroid

形心（Centroid）是由三角形的三條中線的交點所確定的點。中線是連接三角形的一個頂點與對邊中點的線段。

形心具有以下特點：

• 形心將中線分成兩段，每一段都是2：1
• 形心是三角形質量均勻分布的中心點。

形心在許多幾何問題中具有重要的作用，例如計算三角形的重心坐標、確定三角形的平衡點等。在實際應用中，形心也被廣泛應用於質心測量、物體平衡和結構分析等領域。

通過計算三角形的頂點坐標或使用中線的性質，我們可以輕鬆地找到形心的位置。形心是三個頂點和對應中點的平均值。因此，了解形心的概念和計算方法可以幫助我們更好地理解三角形的特性和性質。

形心計算例子

考慮一個三角形 ABC，其中 A 的坐標為 (2, 4)，B 的坐標為 (6, 2)，C 的坐標為 (8, 6)。

首先，我們可以計算出三個邊的中點坐標：

• AB 的中點 (M)：[(2 + 6) / 2, (4 + 2) / 2] = (4, 3)
• BC 的中點 (N)：[(6 + 8) / 2, (2 + 6) / 2] = (7, 4)
• CA 的中點 (O)：[(8 + 2) / 2, (6 + 4) / 2] = (5, 5)

接下來，我們找出這三個中點形成的中線交點，即形心 (G)：

• 形心 G：[(4 + 7 + 5) / 3, (3 + 4 + 5) / 3] = (5.33, 4)

所以，這個三角形的形心 G 的坐標為 (5.33, 4)。

外心 Circumcentre

外心（Circumcentre）是三角形的外接圓圓心。外接圓是唯一與三角形的三個頂點相交的圓，外心就是外接圓的圓心。

外心具有以下特點：

• 外心到三個頂點的距離相等，即外心到三個頂點的線段長度相等。
• 外心與三條邊的連線構成的角度都是直角並平分，即外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點。

外心特殊狀況

如果三角形是直角三角形，外心會在三角形斜邊的中點上。而且配合圓形特性，我們可以得知該三角形的斜邊就正正是外接圓的直徑。

垂直平分線 Perpendicular Bisector

垂直平分線（Perpendicular Bisector）是指一條直線，它既垂直於線段，又將線段平分為兩個等長的部分。

垂直平分線具有以下特點：

• 垂直性：垂直平分線與線段的切線成直角，即直線與線段的斜率互為相反數。
• 平分性：垂直平分線將線段分為兩個等長的部分，即線段的兩個端點到垂直平分線的距離相等。

要找到線段的垂直平分線，可以使用以下方法之一：

1. 利用線段的中點：找到線段的中點，然後構造與線段垂直且經過中點的直線，即為垂直平分線。
2. 利用線段的斜率：計算線段的斜率，然後構造與線段垂直且經過線段中點的直線，即為垂直平分線。

內心 Incentre

內心（Incentre）是三角形的內切圓圓心。內切圓是唯一與三角形的三條邊相切的圓，內心就是內切圓的圓心。

內心具有以下特點：

• 內心是由三條角平分線相交而確定的點
• 內切圓必定在三角形入面
• 三角形的內切圓必定是該內切圓的切線，所以同學可以使用所有切線性質

內心可以幫助我們瞭解三角形的形狀、角度和尺寸，並在幾何計算和建模中發揮重要作用。

角平分線 Angle Bisector

角平分線（Angle Bisector）是指一條直線，它將一個角平分為兩個相等的角。

角平分線具有以下特點：

• 平分性：角平分線將一個角分為兩個相等的角，即角平分線與角的兩邊所夾的角度相等。
• 共線性：角平分線與角的兩邊共線，即角平分線上的任意一點與角的兩邊所在直線上的點共線。

要找到角的角平分線，可以使用以下方法之一：

1. 利用角的三邊：通過繪製角的三邊，然後構造通過角頂點且平分角的兩邊的直線，即為角平分線。
2. 利用角的度量：計算角的度量，然後構造通過角頂點且與角的兩邊夾角相等的直線，即為角平分線。

角平分線可以幫助我們研究角的性質，如角的度量、角的相似性等。角平分線也常用於角的三等分和角的構造問題中。此外，在三角形中，三個角的平分線交於一點，該點被稱為內心，是三角形的重要中心之一。

垂心 Orthocentre

垂心（Orthocentre）是三角形的垂心，也被稱為垂心點。垂心是三角形三條高線的交點所確定的點。

三角形的高線是從三個頂點到與對邊垂直相交的線段。

垂心具有以下特點：

• 垂心對於三個邊的連線，形成的角度都是直角，即垂心到三個邊的連線是邊的垂直線。

垂心特殊狀況

如果三角形是直角三角形，垂心會落在該三角形直角的角。

四心 Program

小編聽說過坊間有一些四心 Program有200多個bytes。

?→A: ?→B: ?→C: A + B + C→M: M÷3◢

(B – C) ÷( A – C→D: C-i (A – B) tan(arg(iD M-◢

. 5M◢ Abs(B – C) + Abs(A – C) – Abs(A – B:

Ans – i Ans tan( .5arg(D: C + Ans ( .5∠ arg(B – C 　

座標以複數形式輸入及顯示答案，即是複數實數部為x座標，虛數部為y座標。

例子：

例題1: A、B及C三點的坐標分別為(4 , 3)、(0 , 0) 及 (4 , 0)，求三角形ABC的重心、垂心、外心及內心的坐標。

按 Prog 1 再按 4 + 3 i EXE (以複數形式輸入座標)

0 + 0 i EXE 4 + 0 i EXE (顯示實數部為 2.666666667)

Shift Re<=>Im (顯示虛數部為 1 i，所以重心=(2.666666667, 1))

EXE (顯示實數部為4) Shift Re<=>Im (顯示虛數部為 0i，所以垂心=(4, 0))

EXE ((顯示實數部為2) Shift Re<=>Im (顯示虛數部為 1.5i，所以外心=(2, 1.5))

EXE (顯示實數部為3) Shift Re<=>Im (顯示虛數部為 1i，所以內心 = (3 , 1))